斐波那契数列问题

Posted 2022-11-24 LeewinPlus

大家都知道斐波那契数列（0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55  ......）

现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

分析：

这个题可以说是迭代（Iteration） VS 递归（Recursion） f(n) = f(n-1) + f(n-2)，第一眼看就是递归啊，简直完美的递归环境，递归肯定很爽，这样想着关键代码两三行就搞定了，注意这题的n是从0开始的：

public class Solution 
    public int Fibonacci(int n) 
        if(n <= 1) 
            return n;
        else
<span style="white-space:pre">	</span>    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
    

然而并没有什么用， 测试用例里肯定准备着一个超大的n来让Stack Overflow ，为什么会溢出？因为重复计算，而且重复的情况还很严重，举个小点的例子，n=4，看看程序怎么跑的： Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);                     = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
                    = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
由于我们的代码并没有记录Fibonacci(1)和Fibonacci(0)的结果，对于程序来说它每次递归都是未知的，因此光是n=4时f(1)就重复计算了3次之多。 那么如何求解呢，动态规划似乎不错，关于动态规划三个条件：最优子结构、无后效性、子问题重叠这些就不谈了，因为理论性太强了。 下例是一个简单的动态规划，以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费：

public class Solution 
    public int Fibonacci(int n) 
        if(n <= 1) return n;
        int[] record = new int[n+1];
        record[0] = 0;
        record[1] = 1;
		for(int i = 2; i < n+1; i ++)
    		record[i] = record[i-1] + record[i-2];
		
        return record[n];
    

虽然看起来很蠢，空间浪费了sizeof(int)*(n-1)，但是对于那个超大n的测试用例应该是可以通过了，时间复杂度也达到了O(n)。