splay tree

Posted 2022-11-22 Code--Dream

类别：二叉排序树 空间效率：O(n)
时间效率：O(log n)内完成插入、查找、删除操作 创造者：Daniel Sleator和Robert Tarjan 优点：每次查询会调整树的结构，使被查询频率高的条目更靠近树根。

注：所有图片来自wiki。
http://blog.csdn.net/cyberzhg/article/details/8058208

Tree Rotation

树的旋转是splay的基础，对于二叉查找树来说，树的旋转不破坏查找树的结构。

Splaying

Splaying是Splay Tree中的基本操作，为了让被查询的条目更接近树根，Splay Tree使用了树的旋转操作，同时保证二叉排序树的性质不变。 Splaying的操作受以下三种因素影响：

• 节点x是父节点p的左孩子还是右孩子
• 节点p是不是根节点，如果不是
• 节点p是父节点g的左孩子还是右孩子

同时有三种基本操作：

Zig Step

当p为根节点时，进行zip step操作。 当x是p的左孩子时，对x右旋； 当x是p的右孩子时，对x左旋。

Zig-Zig Step

当p不是根节点，且x和p同为左孩子或右孩子时进行Zig-Zig操作。 当x和p同为左孩子时，依次将p和x右旋； 当x和p同为右孩子时，依次将p和x左旋。

Zig-Zag Step

当p不是根节点，且x和p不同为左孩子或右孩子时，进行Zig-Zag操作。 当p为左孩子，x为右孩子时，将x左旋后再右旋。 当p为右孩子，x为左孩子时，将x右旋后再左旋。

应用

Splay Tree可以方便的解决一些区间问题，根据不同形状二叉树先序遍历结果不变的特性，可以将区间按顺序建二叉查找树。 每次自下而上的一套splay都可以将x移动到根节点的位置，利用这个特性，可以方便的利用Lazy的思想进行区间操作。 对于每个节点记录size，代表子树中节点的数目，这样就可以很方便地查找区间中的第k小或第k大元素。 对于一段要处理的区间[x, y]，首先splay x-1到root，再splay y+1到root的右孩子，这时root的右孩子的左孩子对应子树就是整个区间。 这样，大部分区间问题都可以很方便的解决， 操作同样也适用于一个或多个条目的添加或删除，和区间的移动。

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POJ2764 Feed the dogs

http://poj.org/problem?id=2764
http://blog.csdn.net/cyberzhg/article/details/8058154

区间不会重叠，所以不可能有首首相同或尾尾相同的情况，读入所有区间，按照右端由小到大排序。然后通过维护splay进行第k小元素的查询操作。

    
     
      
       [cpp] 
       view plain
       copy
       print
       ?
       
       
      
     
     
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
const int MAXN = 100005;  
const int MAXM = 50005;  
const int INF = 0x7FFFFFFF;  
  
class SplayTree  
  
public:  
    SplayTree()  
      
        nil = &_nil;  
        _nil.value = 0;  
        _nil.size = 0;  
        _nil.parent = nil;  
        _nil.child[LEFT] = nil;  
        _nil.child[RIGHT] = nil;  
      
  
    inline void clear()  
      
        nodeNumber = 0;  
        root = nil;  
        insert(-INF);  
        insert(INF);  
      
  
    inline void insert(const int value)  
      
        if(root == nil)  
          
            root = newNode(nil, value);  
            return;  
          
        Node *x = root;  
        while(true)  
          
            int dir = x->value < value;  
            if(x->child[dir] == nil)  
              
                x->child[dir] = newNode(x, value);  
                update(x);  
                splay(x->child[dir], nil);  
                return;  
              
            else  
              
                x = x->child[dir];  
              
          
      
  
    inline void remove(const int value)  
      
        int k = find(value);  
        find(k - 1, nil);  
        find(k + 1, root);  
        root->child[RIGHT]->child[LEFT] = nil;  
        update(root->child[RIGHT]);  
        update(root);  
      
  
    inline int getKth(const int k)  
      
        find(k + 1, nil);  
        return root->value;  
      
  
    inline void print()  
      
        printf("Splay Tree: \\n");  
        print(root);  
        printf("\\n");  
    private:  
    static const int LEFT = 0;  
    static const int RIGHT = 1;  
    struct Node  
      
        int value, size;  
        Node *parent, *child[2];  
     _nil, node[MAXN];  
    int nodeNumber;  
    Node *root, *nil;  
  
    inline Node *newNode(Node *parent, const int value)  
      
        node[nodeNumber].value = value;  
        node[nodeNumber].size = 1;  
        node[nodeNumber].parent = parent;  
        node[nodeNumber].child[LEFT] = nil;  
        node[nodeNumber].child[RIGHT] = nil;  
        return &node[nodeNumber++];  
      
  
    inline void update(Node *x)  
      
        if(x == nil)  
          
            return;  
          
        x->size = x->child[LEFT]->size + x->child[RIGHT]->size + 1;  
      
  
    inline void rotate(Node *x, const int dir)  
splay tree

 伸展树(splay tree)
 POJ3468--A Simple Problem with Integers（Splay Tree）
 loj 104 普通平衡树splay
 Splay_Tree 模板（区间修改，旋转操作）
 LCT动态树入门