矩阵论三种常见的矩阵范数

Posted 2022-11-06 悠望南山2016

本次博客参考了：http://blog.csdn.net/left_la/article/details/9159949
感谢原博主简明扼要的概括以及matlab代码提供！

1-范数（列和范数）

$\\beginVmatrixA\\endVmatrix_1=\\max \\limits_j\\sum_i=1^m\\beginvmatrixa_ij\\endvmatrix$
将矩阵沿列方向取绝对值求和，然后擢选出数值最大的那个值作为1-范数。
比如：

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> norm_1 = norm(A,1)

norm_1 =

    18

第一列求和结果为：|1|+|4|+|7|=12
第二列求和结果为：|2|+|5|+|8|=15
第三列求和结果为：|3|+|6|+|9|=18
里面最大的就是18，因此矩阵A的列和范数为18。

2-范数（$A^*A$最大特征值开方）

$\\beginVmatrixA\\endVmatrix_2=\\sqrt\\lambda_1$
这一部分涉及到的我不懂的概念比较多，接下来一一说明。

2-1 共轭转置矩阵

$A^*$指的是A的共轭转置矩阵，也有$A^H$这个写法。如果A里面全是实数，那效果就与$A^T$无二；如果A里面也有复数，则是先对A取共轭（各项实部不变，虚部取相反数），然后再转置，比如：

A =

   1.0000 + 0.0000i   0.0000 - 2.0000i
   3.0000 + 0.0000i   0.0000 - 4.0000i

>> A'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 2.0000i   0.0000 + 4.0000i

在matlab中A’的意思就是求共轭转置矩阵。

2-2 特征值

矩阵A的特征值被定义为：$A\\ \\vecv=λ\\ \\vecv$
其中$\\vecv$被称为“矩阵A的特征向量”，λ被称为“矩阵A的特征值”。
在matlab中求解矩阵A的特征值方法如下：

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> [V,D] = eig(A)

V =

   -0.2320   -0.7858    0.4082
   -0.5253   -0.0868   -0.8165
   -0.8187    0.6123    0.4082


D =

   16.1168         0         0
         0   -1.1168         0
         0         0   -0.0000

矩阵V的每一列都是一个特征向量，D中对应列中的值即与该特征向量相匹配的特征值。以上例V、D第一列为例，此时特征值λ=16.1168，特征向量$\\vecv=[-0.2320,-0.5253,-0.8187]^T$，用matlab作验证如下：

>> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> v = [-0.2320,-0.5253,-0.8187]'

v =

   -0.2320
   -0.5253
   -0.8187

>> lambda = 16.1168

lambda =

   16.1168

>> A * v

ans =

   -3.7387
   -8.4667
  -13.1947

>> lambda * v

ans =

   -3.7391
   -8.4662
  -13.1948

可知满足$A\\ \\vecv=λ\\ \\vecv$。

2-3 矩阵的2-范数

矩阵的2-范数即对矩阵$A^*A$最大特征值$λ_1$开方，如下：

>> [V,D] = eig(A'*A)

V =

   -0.4082   -0.7767    0.4797
    0.8165   -0.0757    0.5724
   -0.4082    0.6253    0.6651


D =

    0.0000         0         0
         0    1.1414         0
         0         0  283.8586

>> sqrt(283.8586)

ans =

   16.8481

（这里最大特征值为283.8586）

当然，matlab中也有更直接的计算矩阵2-范数的方法，如下：

>> norm_2 = norm(A,2)

norm_2 =

   16.8481

两种方法计算出的结果是一样的。

∞-范数（行和范数）

$\\beginVmatrixA\\endVmatrix_\\infty=\\max \\limits_i\\sum_j=1^n\\beginvmatrixa_ij\\endvmatrix$
和1-范数（列和范数）类似，这里是沿行方向取绝对值求和，将最大的那个值作为矩阵的∞-范数。matlab代码如下：

>> A

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> norm(A,inf)

ans =

    24

第一行求和结果为：|1|+|2|+|3|=6
第二行求和结果为：|4|+|5|+|6|=15
第三行求和结果为：|7|+|8|+|9|=24
里面最大的就是24，因此矩阵A的行和范数为24。

2016.9.27
by 悠望南山