视觉SLAM十四讲笔记-- 第三讲
Posted 炼丹狮
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了视觉SLAM十四讲笔记-- 第三讲相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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第三讲课后题
1、验证旋转矩阵是正交矩阵。
（1）正交矩阵
定义：设A为n阶方阵，如果 A T A = I A^TA=I ATA=I 或者 A A T = I AA^T=I AAT=I，就称A为正交矩阵
性质：
- 正交矩阵的每一个列向量都是单位向量，且向量之间两两正交。
- 正交矩阵的行列式为1 或者 -1
- A − 1 = A T A^-1=A^T A−1=AT(充要条件)
（2）旋转矩阵
旋转矩阵描述了坐标系之间的旋转变换，由3 × 3 的矩阵描述。
验证思路是利用 正交矩阵的充要条件 （ A − 1 = A T A^-1=A^T A−1=AT）来验证。
根据书中的例子设单位正交基（ e 1 , e 2 , e 3 e_1, e_2,e_3 e1,e2,e3）经过一次旋转变成了（ e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ e^'_1, e^'_2,e^'_3 e1′,e2′,e3′），因为同一向量 a 在两个坐标系下分别为（ a 1 , a 2 , a 3 a_1, a_2,a_3 a1,a2,a3）,（ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ a^'_1, a^'_2,a^'_3 a1′,a2′,a3′），没有发生变化，根据坐标定义，因此有：
[ e 1 e 2 e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] （ 式 子 1.1 ） \\beginbmatrix e_1&e_2&e_3\\endbmatrix \\beginbmatrix a_1\\\\\\\\a_2\\\\\\\\a_3\\endbmatrix =\\beginbmatrix e^'_1& e^'_2&e^'_3\\endbmatrix \\beginbmatrix a^'_1\\\\\\\\a^'_2\\\\\\\\a^'_3\\endbmatrix \\colorred（式子1.1） [e1e2e3]⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2a3⎦⎥⎥⎥⎥⎤=[e1′e2′e3′]⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1′a2′a3′⎦⎥⎥⎥⎥⎤（式子1.1）两边同时左乘 [ e 1 T e 2 T e 3 T ] \\beginbmatrix e^T_1\\\\\\\\e^T_2\\\\\\\\e^T_3\\endbmatrix ⎣⎢⎢⎢⎢⎡e1Te2Te3T⎦⎥⎥⎥⎥⎤，就变成了如下：
[ e 1 T e 2 T e 3 T ] [ e 1 e 2 e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 T e 2 T e 3 T ] [ e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] \\beginbmatrix e^T_1\\\\\\\\e^T_2\\\\\\\\e^T_3\\endbmatrix \\beginbmatrix e_1&e_2&e_3\\endbmatrix \\beginbmatrix a_1\\\\\\\\a_2\\\\\\\\a_3\\endbmatrix = \\beginbmatrix e^T_1\\\\\\\\e^T_2\\\\\\\\e^T_3\\endbmatrix \\beginbmatrix e^'_1& e^'_2&e^'_3\\endbmatrix \\beginbmatrix a^'_1\\\\\\\\a^'_2\\\\\\\\a^'_3\\endbmatrix 以上是关于视觉SLAM十四讲笔记-- 第三讲的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章