2022牛客多校#6 C. Forest
Posted 欣君
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2022牛客多校#6 C. Forest相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题目大意
给定 n ( 1 ≤ n ≤ 16 ) n(1 \\leq n \\leq 16) n(1≤n≤16) 个点 m ( 0 ≤ m ≤ 100 ) m(0 \\leq m \\leq 100) m(0≤m≤100) 条正边权的无向简单图，求每个生成子图的最小生成森林的权值和，答案对 998244353 998244353 998244353 取模。
定义点集 V V V ，边集 E E E 的图 G G G 的最小生成森林为：
- 最小生成森林的边集 S ⊆ E S \\subseteq E S⊆E 。
- 任意两个节点的连通性不变
- S S S 为满足以上条件的最小权值。
图 G G G 的生成子图为具有点集 V V V 和边集为 E E E 的子集所构成的图。
题解
类似题目 P6789 。
单独考虑按边权值从小到大枚举每条边的贡献，边权值第
i
i
i 小的边为
e
i
=
(
u
i
,
v
i
,
w
i
)
e_i=(u_i,v_i,w_i)
ei=(ui,vi,wi) 。
由于求所有方案的总权值和，因此边权值相同的边任意排序后不影响结果。
定理：
- 一条边在生成子图的最小生成森林中，当且仅当该子图中其他权值更小的点不能使得两端联通。
对于边 e i = ( u i , v i , w i ) e_i=(u_i,v_i,w_i) ei=(ui,vi,wi) ，求有多少生成子图的最小生成森林包含该边。
边编号在 [ i + 1 , m ] [i+1,m] [i+1,m] 范围内的边，不影响 e i e_i ei 的选取，方案数为 2 m − 1 − i 2^m-1-i 2m−1−i 。
考虑边编号在
[
1
，
i
−
1
]
[1，i-1]
[1，i−1] 范围内的边。
设边编号在
[
1
,
i
−
1
]
[1,i-1]
[1,i−1] 范围内，且端点均在点集
S
S
S 内的边数为
C
n
t
i
−
1
(
S
)
Cnt_i-1(S)
Cnti−1(S) ，有转移式
C
n
t
i
(
S
)
=
[
u
i
∈
S
&
v
i
∈
S
]
+
C
n
t
i
−
1
(
S
)
Cnt_i(S)=[u_i\\in S\\&v_i \\in S]+Cnt_i-1(S)
Cnti(S)=[ui∈S&vi∈S]+Cnti−1(S)
设边编号在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1] 范围的边构成连通块 S S S ，则
- 两端在 S S S 外的边，可以任意选取。方案数为 2 C n t i − 1 ( V − S ) 2^Cnt_i-1(V-S) 2Cnti−1(V−S) ；
- 只有一段在 S S S 内的边，均不能选取，否则连通块就不是 S S S 了。方案数为 1 1 1 ；
- 两端都在 S S S 内的边，有一部分需要被选取使得构成连通块 S S S 。设方案数为 f i − 1 ( S ) f_i-1(S) fi−1(S) ；
考虑计算
f
i
−
1
(
S
)
f_i-1(S)
fi−1(S) ，等于总方案数-至少有两个连通块的方案数。
可以直接计算，枚举
S
S
S 中包含编号最小的节点的连通块
T
T
T ，则剩余部分为
S
−
T
S-T
S−T ，有
f
i
−
1
(
S
)
=
2
C
n
t
i
−
1
(
S
)
−
∑
T
⊂
S
,
l
o
w
b
i
t
(
S
)
=
l
o
w
b
i
t
(
T
)
f
i
−
1
(
T
)
⋅
2
C
n
t
i
−
1
(
S
−
T
)
f_i-1(S)=2^Cnt_i-1(S)-\\sum_T \\subset S,lowbit(S)=lowbit(T)f_i-1(T)\\cdot 2^Cnt_i-1(S-T)
fi−1(S)=2Cnti−1(S)−T⊂S,lowbit(S)=lowbit(T)∑fi−1(T)⋅2Cnti−1(S−T)
上式的复杂度为 O ( 3 n ) O(3^n) O(3n) ，搭配枚举 m m m ，复杂度为 O ( 3 n m ) O(3^n m) O(3nm) ，约 4e9 ，勉强可以计算出结果。
边
e
i
e_i
ei 的贡献为
W
i
=
w
i
×
(
2
m
−
1
−
2
m
−
i
−
1
×
∑
S
⊆
V
,
u
i
∈
S
,
v
i
∈
S
2
C
n
t
i
−
1
(
V
−
S
)
f
i
−
1
(
S
)
)
W_i=w_i\\times(2^m-1-2^m-i-1 \\times \\sum_S\\subseteq V,u_i \\in S,v_i \\in S2^Cnt_i-1(V-S)f_i-1(S))
Wi=wi×(2m−1−2m−i−1×S⊆V,ui∈S,vi∈S∑2Cnti−1(V−S)fi−1(S))
也可以考虑加入 e i e_i ei 边，从 f i − 1 ( S ) f_i-1(S) fi−1(S) 递推到 f i ( S ) f_i(S) f2022牛客多校#6 C. Forest
2022牛客多校#4 C. Easy Counting Problem
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