线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式

Posted 2022-10-14 Espresso Macchiato

• 线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式
  • 1. 矩阵
    • 1. 定义
    • 2. 矩阵运算
      • 1. 加法与数乘
      • 2. 矩阵乘法
      • 3. 矩阵的逆
      • 4. 转置、共轭与秩
      • 5. 分块运算
      • 6. 初等变换
  • 2. 行列式
    • 1. 定义
    • 2. 性质 & 计算
  • 3. 秩与相抵

1. 矩阵

1. 定义

定义4.1.1
对任意正整数$m$和$n$，由$m\times n$个数排成的$m$行$n$列的表：
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$$
称为一个$m\times n$的矩阵，记作$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$。
表中的每个数称为矩阵$A$的元素，特别的，当$i=j$时，$a_{ii}$称为$A$的对角元。

其中，有一些特殊矩阵定义如下：

1. 零矩阵（$\mathbf{O}$）：元素都是0的矩阵；
2. 方阵：$n\times n$的矩阵；
3. 单位矩阵（${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$或$\mathbf{I}$）：对角元素都是1，其他元素都是0的n阶方阵；
4. 数量矩阵：对角元素都是$a$，其他元素都是0的n阶方阵，即$a{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$；
5. 对角矩阵：出对角元素之外均为0的n阶方阵；
6. 上三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i>j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
7. 下三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i<j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
8. 三角矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵；
9. 对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；
10. 反对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=-a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；

2. 矩阵运算

下面，我们来考察一下矩阵当中的一些常见运算。

1. 加法与数乘

定义4.2.1
设矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\lambda \in F$，定义矩阵加法和数乘如下：
A + B = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 . . . a 1 m + b 1 m a 21 + b 21 a 22 + b 22 . . . a 2 m + b 2 m . . . . . . . . . . . . a n 1 + b n 1 a n 2 + b n 2 . . . a n m + b n m ) \\boldA + \\boldB = \\beginpmatrix a_11 + b_11 & a_12 + b_12 & ... & a_1m + b_1m \\\\ a_21 + b_21 & a_22 + b_22 & ... & a_2m + b_2m \\\\ ... & ... & ... & ... \\\\ a_n1 + b_n1 & a_n2 + b_n2 & ... & a_nm + b_nm \\endpmatrix A+B=⎝ ⎛​a11​+b以上是关于线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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