用 python 拟合等角螺线

Posted 2022-10-05 天元浪子

文章目录

• 飞蛾为什么要扑火？
• 螺线及等角螺线
• 绘制等角螺线
• 拟合等角螺线

飞蛾为什么要扑火？

暗梁闻语燕，夜烛见飞蛾。
飞蛾绕残烛，半夜人醉起。

人类很早就注意到飞蛾扑火这一奇怪的现象，并且自作主张地赋予了飞蛾扑火很多含义，引申出为了理想和追求义无反顾、不畏牺牲的精神。但是，这种引申和比喻，征求过飞蛾的意见吗？

后来，生物学家又提出来昆虫趋光性这一假说来解释飞蛾扑火。不过，这个假说似乎也不成立。如果昆虫真的追逐光明，估计地球上早就没有昆虫了——它们应该齐刷刷整体移民到太阳或月亮上去了。

仔细观察飞蛾扑火，就会发现，昆虫们并不是笔直地飞向光源，而是绕着光源飞行，同时越来越接近光源，最终酿成了“惨案”。这一行为被解释成“失误”似乎更合理一点。既然火烛危险，那么飞蛾为什么要绕着火烛飞行呢？

最新的解释是，飞蛾在夜晚飞行时是依据月光和星光作为参照物进行导航的。星星和月亮离我们非常远，光到了地面上可以看成平行光，当飞蛾的飞行路径保持与光线方向成恒定夹角时，飞蛾就变成了直线飞行，如下图所示。

然而，当飞蛾遇到了火烛等危险光源时，还是按照以前的飞行方式，路径保持与光线方向成恒定夹角，以为依旧能飞成一条直线，结果悲剧了。此时它的飞行轨迹并不是一条直线，而是一条等角螺旋线，如下图所示。

可怜的飞蛾！亿万年进化出来的精准导航，在人工光源的干扰下竟如此不堪。

螺线及等角螺线

螺线家族很庞大，比如，阿基米德螺线、费马螺线、等角螺线、双曲螺线、连锁螺线、斐波那契螺线、欧拉螺线等等。等角螺线，又叫对数螺线，螺线家族的一员。

早在2000多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究。公元1638年，著名数学家笛卡尔首先描述了对数螺旋线（等角螺旋线），并列出了螺旋线的解析式。这种螺旋线有很多特点，其中最突出的一点就是它的形状，无论你把它放大或缩小它都不会有任何的改变。就像我们不能把角放大或缩小一样。

用极坐标分析法分析飞蛾扑火的飞行轨迹，可知，轨迹线上任意一点的切线与该点与原点的连线之间的夹角是固定的，这就是等角螺线得名的由来。因为分析过程使用了对数，所以等角螺线又叫对数螺线。我不太会用LaTeX写数学公式，所以就用 python 的方法写出螺线方程。其中，fixed 表示螺线固定角，大于 pi/2 则为顺时针螺线，小于 pi/2 则为逆时针螺线。theta 表示旋转弧度，r 表示距离中心点距离。

r = fixed*np.exp(theta/np.tan(fixed))

等角螺线在生活中也经常见到，比如，鹦鹉螺的花纹、玫瑰花瓣的排列，星系的悬臂，低气压云图等。

绘制等角螺线

给定中心点和固定角，一个等角螺线就被唯一地确定了。这个螺线可以绕很多圈，可以填满整个宇宙。但很多时候，我们往往只需要观察螺线上的一小部分，这时候就需要两个参数来约定：一个叫作 circle，表示你希望看到多少圈螺线，一个叫作 phase，表示螺线的可见部分向内（顺时针）或向外（逆时针螺线）旋转多少圈。

这是使用 matplotlib 绘制等角螺线的函数，其中固定角参数 fixed 做了一点处理：以度（°）为单位，以零为中心，大于零则为顺时针螺线，小于零则为逆时针螺线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def plotSpiral(core, fixed, phase=0, circle=4):
    """绘制等角螺线
    core		- 等角螺线的中心坐标，tuple类型
    fixed       - 等角螺线的固定角度，单位：度（°）。fixed大于零则为顺时针螺线，小于零则为逆时针螺线
    phase       - 初始相位，单位：圈（360°）。对顺时针螺线，该数值越大，螺线越大，对逆时针螺线则相反
    circle      - 螺线可见部分的圈数，单位：圈（360°）
    """
    
    plt.axis("equal")
    plt.plot([core[0]], [core[1]], c='red', marker='+', markersize=10)
    
    fixed_rad = np.radians(90 + fixed)
    theta = np.linspace(0, circle*2*np.pi, 361) + phase*2*np.pi
    r = fixed_rad*np.exp(theta/np.tan(fixed_rad))
    x = r*np.cos(theta) + core[0]
    y = r*np.sin(theta) - core[1]
    plt.plot(x, y, c='blue')
    
    plt.show()

下图展示了逆时针等角螺线各个参数的意义：

下图展示了顺时针等角螺线各个参数的意义：

拟合等角螺线

在台风定位时，需要手动确定台风中心位置，并标识出台风螺线轨迹上的部分点，然后逆合出螺线方程。如下图所示，蓝色十字为台风中心点，5个黄色圆点是手工标注的台风螺线轨迹上的点。

以下为拟合函数

import numpy as np
from scipy import optimize

def fit_spiral(core, dots):
    """拟合等角螺线，返回定角fixed，初始相位phase"""
    
    fixed_ccw = 0.445*np.pi
    fixed_cw = 0.555*np.pi
    
    # 将dots拆分成x_list和y_list
    x_list, y_list = list(), list()
    for x, y in dots:
        x_list.append(x-core[0])
        y_list.append(y-core[1])
    
    # 计算距离
    x = np.array(x_list)
    y = np.array(y_list)
    r = np.hypot(x,y)
   
    # 按照距离排序
    sort_mask = np.argsort(r)
    x = x[sort_mask]
    y = y[sort_mask]
    r = r[sort_mask]
    
    # 计算角度
    theta = np.arctan(y/x)
    theta[x<0] += np.pi
    
    # 确定顺序（CW-顺时针，CCW-逆时针）
    d = np.diff(theta)
    print(d)
    ccw = d[d>0].size > d[d<0].size
    print('ccw=',ccw)
    
    # 调整角度为升序（CCW）或降序（CW）
    if ccw:
        for i in range(1, theta.size):
            while theta[i] < theta[i-1]:
                theta[i] += 2*np.pi
            
            dtheta = theta[i] - theta[i-1]
            while r[i]/r[i-1] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_ccw)):
                theta[i] += 2*np.pi
                dtheta = theta[i] - theta[i-1]
    else:
        for i in range(theta.size-1)[::-1]:
            while theta[i] < theta[i+1]:
                theta[i] += 2*np.pi
            
            dtheta = theta[i+1] - theta[i]
            while r[i+1]/r[i] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_cw)):
                theta[i] += 2*np.pi
                dtheta = theta[i+1] - theta[i]
    
    # 定义拟合函数
    def fmax(theta, fixed, phase):
        fixed = np.radians(90 + fixed)
        return fixed*np.exp((theta+phase*2*np.pi)/np.tan(fixed))
    
    try: 
        fita, fitb = optimize.curve_fit(fmax, theta, r, [2-int(ccw), 0], maxfev=10000)
        return fita
    except:
        return None

core = (530, 496)
dots = [(467,538), (448,675), (522,484), (513,451), (811,519)]
result = fit_spiral(core, dots)
if isinstance(result, np.ndarray):
   plotSpiral(core, result[0], phase=result[1], circle=4)
else:
    print(u'拟合失败')

拟合效果如下图：