数据结构 —— 图解AVL树(平衡二叉树)

Posted 猎人在吃肉

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数据结构 —— 图解AVL树(平衡二叉树)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

文章目录

1、AVL树(平衡二叉树)的定义

平衡二叉树 全称叫做 平衡二叉搜索(排序)树,简称 AVL树。英文:Balanced Binary Tree (BBT),注:二叉查找树(BST)

AVL 什么意思 ?
AVL 是大学教授 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名称的缩写,他们提出的平衡二叉树的概念,为了纪念他们,将 平衡二叉树 称为 AVL树。

AVL树本质上是一颗二叉查找树,但是它又具有以下特点:

  • 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,
  • 左右两个子树 也都是一棵平衡二叉树。

在AVL树中,任何节点的两个子树的高度最大差别为 1 ,所以它也被称为平衡二叉树 。

1.1、平衡因子(Balance Factor,简写为bf)

平衡因子(bf):结点的左子树的深度减去右子树的深度。
即: 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度

在 AVL树中,所有节点的平衡因子都必须满足: -1<=bf<=1;

1.2、学习计算每个节点的高度和平衡因子

下图的二叉树,计算每个节点的高度和平衡因子。图示如下:

由 AVL树的定义可知,上面的两个图都不是 AVL树(平衡二叉树) 。

1.3、区分是否是平衡二叉树

下面是平衡二叉树和非平衡二叉树对比的例图:

2、AVL树的作用:

我们知道,对于一般的二叉搜索树(Binary Search Tree),其期望高度(即为一棵平衡树时)为log2n,其各操作的时间复杂度(O(log2n))同时也由此而决定。但是,在某些极端的情况下(如在插入的序列是有序的时),二叉搜索树将退化成近似链或链,此时,其操作的时间复杂度将退化成线性的,即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况,但是在进行了多次的操作之后,由于在删除时,我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身,这样就会造成总是右边的节点数目减少,以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏,提高它的操作的时间复杂度。

例如:我们按顺序将一组数据 1,2,3,4,5,6 分别插入到一颗空二叉查找树和AVL树中,插入的结果如下图:

由上图可知,同样的结点,由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下,会导致二叉树的高度是O(N),而AVL树就不会出现这种情况,树的高度始终是O(lgN).高度越小,对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

3、AVL树的基本操作

AVL树的操作基本和二叉查找树一样,这里我们关注的是两个变化很大的操作:插入和删除!

我们知道,AVL树不仅是一颗二叉查找树,它还有其他的性质。如果我们按照一般的二叉查找树的插入方式可能会破坏AVL树的平衡性。同理,在删除的时候也有可能会破坏树的平衡性,所以我们要做一些特殊的处理,包括:单旋转和双旋转!

3.1、插入—— 左左型的右旋:

由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入结点之后,T的左右子树高度差的绝对值不再 <= 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。

在结点T的 左结点(L)左子树(L) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 左左型 ,我们应该进行右旋转。

注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。

3.1.1、右旋的具体步骤:

  • T向右旋转成为L的右结点
  • L的右节点Y 放到 T的左孩子上

旋转中心是根节点T的左节点(L)。

这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:

3.1.2、右旋的动画演示:

3.1.3、右旋示例:

示例1:

左左情况下,插入新数据1 时,进行右旋操作:

示例2:

插入 节点2后,进行右旋转:

3.2、插入——左右型的左右旋:

由上图可知,我们在T结点的左结点的右子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 <= 1,如果只是进行简单的右旋,得到的树仍然是不平衡的。

在结点T的 左结点(L)右子树(R) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 左右型 ,我们应该进行左右旋。

注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。

3.2.1、左右旋的两次旋转步骤:

第1次是左旋转:

  • L节点 左旋转,成为R的左节点
  • R的左节点(Y1) 左旋转,成为 L的右节点(即左子节点左转)

第2次是右旋转:

  • T节点 右旋转,成为R的右节点
  • R的右节点(Y2)右旋转,成为T的左节点(即右子节点右转)

旋转中心是根节点 T 的左节点(R)。

3.2.2、左右旋转的示例:

一定要先把上面的左左型、左右型的旋转搞明白了, 下面的右右型、右左型的旋转就容易理解了。

3.3、插入——右右型的左旋:

由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入新结点之后,T的左右子树高度差的绝对值不再 <+ 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。

在结点T的 右结点(R)右子树(R) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 右右型 ,我们应该进行左旋转。

注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。

3.3.1、左旋的具体步骤:

  • T向左旋转成为R的左结点
  • R的左节点Y放到T的右孩子上

旋转中心是根节点T的右节点(R)。

这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:

3.3.2、动画演示:

3.3.3、左旋举例:

示例1:

右右情况下,插入新数据时,左旋操作:

示例2:

3.4、插入——右左型的右左旋:

由上图可知,我们在T结点的右结点的左子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,如果只是进行简单的左旋,得到的树仍然是不平衡的。

在结点T的 右结点(R)左子树(L) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 右左型 ,我们应该进行右左旋。

注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。

3.4.1、右左旋的两次旋转步骤:

第1次是右旋转:

  • R 节点 右旋转,成为L的右节点
  • L的右节点(Y2) 右旋转,成为R的左节点(即右子节点右转)

第2次是左旋转:

  • T 节点 左旋转,成为L的左节点
  • L的左节点(Y1)左旋转,成为T的右节点 (即左子节点左转)

旋转中心是根节点 T 的右节点(L)。

3.4.2、右左旋的的示例

4、总结:

在插入的过程中,会出现一下四种情况破坏AVL树的特性,我们可以采取如下相应的旋转。

插入位置状态操作
在结点T的左结点(L)的 左子树(L) 上做了插入元素左左型右旋
在结点T的左结点(L)的 右子树(R) 上做了插入元素左右型左右旋
在结点T的右结点(R)的 右子树(R) 上做了插入元素右右型左旋
在结点T的右结点(R)的 左子树(L) 上做了插入元素右左型右左旋

注意:
T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。


不知道大家发现规律没,这个规则还是挺好记,下面来个图示:

5、参考文章

https://www.cnblogs.com/idreamo/p/8308336.html

https://segmentfault.com/a/1190000006123188

https://blog.csdn.net/sjg_sjk/article/details/80332151

https://blog.csdn.net/FreeeLinux/article/details/52204851

以上是关于数据结构 —— 图解AVL树(平衡二叉树)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数据结构54:平衡二叉树(AVL树)

构造平衡二叉树

数据结构(三十八)平衡二叉树(AVL树)

数据结构 —— 图解AVL树(平衡二叉树)

平衡二叉树AVL树定义插入以及调整最小不平衡子树(C语言)

平衡二叉树(AVL树)