第二节：谱聚类算法之切图聚类算法流程及其实现

Posted 2022-09-12 快乐江湖

本文部分内容源自刘建平博客，在此基础上进行总结拓展

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文章目录

• 一：谱聚类与图划分
• • （1）比例割
  • （2）规范割（常用）
• 二：谱聚类算法流程
• 三：Python实现
• 四：谱聚类算法优缺点
• • （1）优点
  • （2）缺点

一：谱聚类与图划分

无向图切图：谱聚类算法根据数据点之间的相似度将数据点划分到不同簇中，因此将数据点映射到无向图之后，可以转化为图划分的问题。对于无向图$G$，切图的目标是将图$G(V,E)$切分成互相无连接$k$个子图，其中

• 每个子图点的集合为$A_1,A_2,...,A_k$，且满足$A_i\cap A_j=\varnothing$、$A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k=V$
• 对于任意两个子图点的集合$A$、$B$，我们定义$A$和$B$之间的切图权重为$W(A,B)=\sum _{i\in A,j\in B}{w}_{ij}$
• 对于$k$个子图点的集合$A_1,A_2,...,A_k$，定义切图$cut(A_1,A_2,...,A_k)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{k}W(A_i,{\bar{A}}_i)$ （其中${\bar{A}}_i$为$A_i$的补集）

可以看出，$cut$描述了子图之间的相似性，$cut$越小那么子图的差异性就越大。但是$cut(A_1,A_2,...,A_k)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{k}W(A_i,{\bar{A}}_i)$在划分子图时并没有考虑每个子图中节点的个数。所以在某些情况下，最小化$cut(A_1,A_2,...,A_k)$可能会把一个数据点或是很少数据点看做一个子图，导致子图划分结果不平衡

• 例如下图，选择一个权重最小的边缘的点，比如$C$和$H$之间进行$cut$，这样可以最小化$cut(A_1,A_2,...,A_k)$但是却不是最优的切图

为了解决这个问题，会引入一些正则化方法。最常用的两种方法为比例割和规范割

• 比例割：$Ratiocut(A_1,A_2,...,A_k)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^k\frac{W(A_i,{\bar{A}}_i)}{|A_i|}$
• 规范割：$NCut(A_1,A_2,...,A_k)=\frac{1}{2}\underset{i=1}{以上是关于第二节：谱聚类算法之切图聚类算法流程及其实现的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章白话啥是谱聚类算法第一节：谱聚类算法概述及拉普拉斯矩阵谱聚类（Spectral\; clustering）（python实现）用scikit-learn学习谱聚类第二节：聚类研究方法进展Spectral\; clustering（谱聚类）算法的实现}$