P3917 异或序列(位运算）

Posted 2022-09-03 Harris-H

P3917 异或序列(位运算）

传送门

题意：给定序列求所有区间异或和的和。

思路：经典异或题，显然需要按照位来计算贡献。我们需要先预处理前缀异或和，这样便于计算区间。对于当前位$i$，我们只需看这个区间的异或和的该位是否为1，也就是该区间该位为1的个数为奇数，记$cnt[j]$为前$j$个数异或和位为$1$的个数，显然对于区间$[l,r]$我们只需让$cnt[r]\oplus cnt[l-1]$为奇数，即$cnt[l-1],cnt[r]$奇偶性不同即可。

所以统计前缀和有多少个1，每个1都可以与剩下的0组成区间，对于$[0,r]$，显然0的个数是$r+1-cnt[r]$。利用乘法原理再乘上$2^i$ 即是该位的贡献。

时间复杂度：$O(32n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N],n;
int main()
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]^=a[i-1];
	ll ans=0;
	for(int i=0,x=(1<<i);i<32;i++,x<<=1)
		int cnt=0;
		  for(int j=1;j<=n;j++)
		  	  if((a[j]>>i)&1) cnt++;
		  ans+=1LL*cnt*(n+1-cnt)*x;
	
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;

思路2：不用预处前缀异或和，直接计算区间为奇数的个数，类似$dp$的思想，

如果$a[i]$的第$j$位为1，进行交换$0,1$片段，$sum=i-sum$, 因为之前的以$第i-1个数的结尾的区间个数为sum$，再加上该位的$1$,区间1变成偶数个，所以应该取区间为$0$的部分作为贡献。 时间复杂度: $O(32n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N],n;
int main()
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	ll ans=0;
	for(int i=0,x=(1<<i);i<32;i++,x<<=1)
		ll sum=0,cnt=0;
		  for(int j=1;j<=n;j++)
		  	  if((a[j]>>i)&1) sum=j-sum;
		  	cnt+=sum;
		   
		  ans+=cnt*x;
	
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;