补题日记[2022杭电暑期多校3]K-Taxi

Posted 2022-08-09 cls1277

Pro

https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7172

Sol

先考虑没有w的限制的我不会的经典模型怎么做。

$$\because |x|=max(x,-x)$$
$$\therefore max(|x^{{}^{\prime }}-x_i|+|y^{{}^{\prime }}-y_i|)$$
$$=maxmax(x^{{}^{\prime }}-x_i,-x^{{}^{\prime }}+x_i)+max(y^{{}^{\prime }}-y_i,-y^{{}^{\prime }}+y_i)$$
$$=max{x}^{{}^{\prime }}-x_i+y^{{}^{\prime }}-y_i,x^{{}^{\prime }}-x_i-y^{{}^{\prime }}+y_i,-x^{{}^{\prime }}+x_i+y^{{}^{\prime }}-y_i,-x^{{}^{\prime }}+x_i-y^{{}^{\prime }}+y_i$$
$$=max(x^{{}^{\prime }}+y^{{}^{\prime }})+(-x_i-y_i),(x^{{}^{\prime }}-y^{{}^{\prime }})+(-x_i+y_i),(-x^{{}^{\prime }}+y^{{}^{\prime }})+(x_i-y_i),(-x^{{}^{\prime }}-y^{{}^{\prime }})+(x_i+y_i)$$
因此只需要维护$-x_i-y_i,-x_i+y_i,x_i-y_i,x_i+y_i$就可以$O(1)$的时间求出距离该点的曼哈顿距离最大值。

而本题加入w的限制后，有以下两种二分思路来做：（经过测试，第一种虽做法虽然只比第二种多了个log，但是因为此处的n比较大，因此不能通过；第二种方法关掉流同步的cin和快读也不能A掉，只能scanf才A掉哈哈哈，归为hdu机子的问题上次1e5的O(n)都给我T了我还记着呢）

主要是check(judge)函数的区别：

1、直接二分答案，比如想要判断答案是不是大于等于x，那么找到第一个权值大于等于x的点，根据上面的式子求出原始模型的距离，然后与x比较即可。

因为外面有一层二分，里面可以使用lower_bound二分得到点的下标，因此总的时间复杂度为$O(nlognlogn)$

2、二分城镇
考虑判断第x个城镇，它的点权为a[x].w，求出编号大于等于x的城镇中到询问点的最大曼哈顿距离d

如果d>a[x].w，答案一定大于等于a[x].w，因此需要进一步二分右半区间；反之同理。总的时间复杂度为$O(nlogn)$

Code

1.二分答案：

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