代数之美线性方程组Ax=0的求解方法
Posted 李迎松~
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数之美线性方程组Ax=0的求解方法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
在3D视觉中，我们常常会遇到这样一个问题：求解线性方程组
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0，从矩阵映射的角度来说，所有解组成了矩阵
A
A
A的零空间。一个典型的场景比如用八点法求解本质矩阵
E
E
E，参见我前面的博文：立体视觉入门指南（2）：关键矩阵（本质矩阵，基础矩阵，单应矩阵）。这是一个基础且常见的线性代数问题，本篇我们来讨论下此类问题的解法，也算是一个入门课程。
文章目录
显而易见的解
对于 A x = 0 Ax=0 Ax=0，很明显， x = 0 x=0 x=0必然是其中一个解，但是对我们实际应用来说，得到一个零解往往没有什么意义，所以不做讨论。
非零特解
如前所述，我们实际要得到的，是非零解，它们显然比零解要隐藏的深。
在讨论非零解之前，我们必须介绍一下特解的概念。一个显而易见的点是，
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0是尺度不变的，即若
x
s
x_s
xs是其中一个解，则
k
s
x
s
k_sx_s
ksxs必然也是其解（
k
s
k_s
ks是实数），而
k
s
x
s
k_sx_s
ksxs和
x
s
x_s
xs是线性相关的；再进一步，如果
x
t
x_t
xt是另一个与
x
s
x_s
xs线性无关的解，即
A
x
s
=
0
,
A
x
t
=
0
,
x
s
和
x
t
线
性
无
关
Ax_s=0,Ax_t=0,x_s和x_t线性无关
Axs=0,Axt=0,xs和xt线性无关
则显然 A ( k s x s + k t x t ) = 0 A(k_sx_s+k_tx_t)=0 A(ksxs+ktxt)=0也是成立的（ k s , k t k_s,k_t ks,kt是实数），即 k s x s + k t x t k_sx_s+k_tx_t ksxs+ktxt也是方程的解。这揭示一个现象：如果方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0有若干个线性无关解 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，则 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn的任意线性组合也是其解，换句话说，所有的解都可以通过 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn来线性组合。 我们便把这些线性无关解 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn称为方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的特解。
所以，我们的目的，实际上是要计算所有的非零特解。
那么首先我们想搞清楚，到底有多少非零特解呢？
我们从消元回代解法来分析，假设一个矩阵
A
∈
R
m
×
n
(
m
=
3
,
n
=
4
)
A\\in R^m\\times n(m=3,n=4)
A∈Rm×n(m=3,n=4)：
A
=
[
1
3
6
6
2
2
4
8
4
4
8
16
]
A=\\left[\\beginmatrix1&3&6&6\\\\2&2&4&8\\\\4&4&8&16\\endmatrix\\right]
A=⎣⎡1243246486816⎦⎤
首先对
A
A
A进行消元，
[
1
3
6
6
2
2
4
8
4
4
8
16
]
→
[
1
3
6
6
2
2
4
8
0
0
0
0
]
→
[
1
3
6
6
0
2
4
2
0
0
0
0
]
\\left[\\beginmatrix1&3&6&6\\\\2&2&4&8\\\\4&4&8&16\\endmatrix\\right]\\rightarrow\\left[\\beginmatrix1&3&6&6\\\\2&2&4&8\\\\0&0&0&0\\endmatrix\\right]\\rightarrow\\left[\\beginmatrix\\boxed1&3&6&6\\\\0&\\boxed2&4&2\\\\0&0&0&0\\endmatrix\\right]
⎣⎡1243246486816⎦⎤→⎣⎡120320640680⎦⎤→⎣⎡以上是关于代数之美线性方程组Ax=0的求解方法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章