再谈0.循环9等于1

Posted 2022-07-30 海枫

在开始之前先跟大家介绍一位数学爱好者卞爱华写的博客万物皆数，里面涉及大量的数学知识，有兴趣的朋友可以移步过去领略数学之美。

时间过得真快，我在六年前这个时间点，写过一篇数学方面的文章1等于0.循环9吗？。前段时间找到万物皆数之后，我又翻阅了一些有理数与实数的理论，加上大家对这个话题也很感兴趣，于是趁有时间，重写一下这个话题。

关于0.循环9

0.循环9是小学的表达方式，它的真实身份是

∑n=1∞910n

$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n$$

没有错，这是一个级数。

那么它的值与1是否相等呢？直觉看来，它明显是加不到1的，所以它比1小。但真的是这样吗？

如何证明相等呢

我们知道实数是具有稠密性质，也即两个不相等的实数x和y之间，一定存在着一个中间实数z。用数学语言表达就是:

对于任何实数x和y，假定

$$x \\lt y$$
那么一定存在实数z，满足
$$x \\lt z \\lt y$$

下面利用这一性质来证明。

证明过程

假设

$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n \\ne 1$$
很明显，左边不可能大于右边，所以两者只能是小于关系，即
$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n \\lt 1$$
根据实数的稠密性，一定存在一个实数介于两者之者，即
$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n \\lt x \\lt 1$$

由$x < 1$，则有$1-x <1$，根据阿基米德公理，一定可以找到一个m，使得$10^m(1-x)>1$，那么有：

$$x \\lt 1 - \\frac110^m$$
于是有
$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n \\lt 1 - \\frac110^m \\lt 1$$
接下只关心不等式的左边两项，即
$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n \\lt 1 - \\frac110^m$$

等价移项

$$\\sum_n=1^\\infty \\frac9 10^n + \\frac110^m \\lt 1$$
接下来，要对级数做拆分
$$\\sum_n=1^m \\frac9 10^n + \\frac110^m + \\sum_n=m+1^\\infty \\frac9 10^n \\lt 1$$
左边前两项加起来刚好等于1，则有
$$1 + \\sum_n=m+1^\\infty \\frac9 10^n \\lt 1$$
上述不等式明显是矛盾，所以题设不成立， 故证毕
∑n=1∞正则表达式

常用的正则表达式

常用的正则表达式全

python-循环

原码反码补码BCD码格雷码

0.9九循环是大于一小于一等于一还是近似等于一？