1等于0.循环9吗？

Posted 2022-07-30 海枫

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了1等于0.循环9吗？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

最近工作不是很忙，空闲之余认真阅读了《数学史概论（第二版）》一书。作者从古代数学的起源直到现代数学娓娓而谈，每一段重要数学史都无一不谈。合上书本，脑海里对数学的历史来龙去脉，以及每段时期数学发展的动力，矛盾和杰出的数学家都一一了解。尽管有些数学知识我一知半解，但此书仍令我兴趣盎然。微积分和第二次数学危机，是我最感兴趣的部分之一。何谓无穷小，当时很多数学家都不能作出完美的解决，以致这后来被一位哲学家所诟病。整整经过二百多年后，数学家才对无穷小作出完美的解释，微积分这一数学大厦才完美竣工。无穷小，是微积分的基础，这令我想起了小学课本上的一个难度很大的数学问题，那就是：

1 与0.循环9相等吗？

我问过好几个对数学感兴趣的朋友和同事，他们给我的答案令我感到非常惊奇，一个很简单的问题，为什么想不明白呢？遂有此文之愿。

乍一看去，和你仔细想想甚至深思熟虑后，心里的答案是什么，相等，还是不相等。你亦可 google或baidu一下，网上也不少人在谈论此问题，但众说纷纭。本文通过多种方法来解释真实的答案。

从第二次数学危机谈起

我们高中课本上就谈到极限，其中有个公式，我想大家都不会忘记，如下：

limn−>∞12+14+18+⋯+12n=1 $lim_n->\\infty \\frac 1 2 + \\frac 1 4 + \\frac 1 8 + \\cdots + \\frac 1 2^n = 1$

你相信上述式子成立吗？说真的，我怎么也不能相信上式真的会成立。左式的结果是越来越接近1，但明显是小于1的，怎么会相等呢？假如真的是相等，也要算到n是无大穷的时候吧，那个时候已是沧海桑田了，我怎么能算得到，况且是接近，不是相等。我也在另一本书看到另一个有趣的话题，那就是：

自然数N 有可无究多个的，是可数的。

我对自然数是可数集，这一定义是理解，但这本书更牛，它说到，是因为计算机在 1 秒内可以将所有自然数数一遍。你相信吗？我绝不相信，有这样神速的机器。书上介绍了它的方法，用0.5秒的时间来数 1, 0.25秒的时间来数2, 依此类推，如果数n的时间为t秒，那么数n+1的时间花t/2秒即可。这样，1秒种就可以数完了。

我觉得很荒唐，计算机数数怎么越来越快呢？从物理特性上说，根本不可能存在这么快的机器。你还不说，作者马上写道，假如有这么快的机器，你能1秒钟内数完所有实数吗？如果有，请安排你的策略。你可别说，实数是不可数的，这是根本不可能办到的事情。

从上面的两个小问题，我们认识到了一个我们难于理解的问题，无究大。无究大是多大，我们没有认真想过，只是觉得非常大，数不清。我们竭尽词澡，都不能准确表达无究大的概念。我们平时接触的事物都是有限的，换句话说，都是有尽头的。

无尽的路，我们能走完吗？ – 不能
在自然数N的基础上加一个0形成一个新的自然数集N1，这两个集合哪个的元素个数多？ – 当然是N1拉，它比N多了个0

自然数是无穷的，但我们在直觉中，往往会将之想象成有穷的，无办法，谁叫我们生活在一个有穷的世界中。因为有穷世界里，比较两个东西很容易，把一头对齐，另一头，谁高就谁大，比较两个人谁高就使用此方法。把 N和N1一比，以无穷大为基端，很容易发现N1的1和N的1对齐，而N1多了一个0，显然是N1个数多。这就是我们的直觉。

正因为我们的直觉，无穷大是难以理解的，也是难以执行的（如数数，数到无穷大），就出现了第二次数学危机。下面是当时出现的两个悖论：

运动不存在

第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路…… 如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

跑得很快的阿希里（我们假设它是只兔子）赶不上在他前面的乌龟

第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

第一个问题，假设运行的路程为S ，那么运动者必先走 $\\frac S 2$ 的路程；在剩下的 $\\frac S 2$ 中，又必须先走 $\\frac S 4$ 路程， $\\cdots$ ，这样运行者必须走无限多次，根据我们对无限大的理解，这是根本不可能走完的。但在生活中，却又是很容易了，如几十米的路程，一分钟内就走完了，怎会走不完呢？这就是在数学上在无限的，不可能完成的，而在真实世界是可能完成的，相矛盾。

第二个更有趣，兔子竟然追上不乌龟，不管它有多快。为了更好分析第二个问题，我们用一个实例来分析。假设开始赛跑时，乌龟在兔子前9m ，兔子的速度为 10m/s ，而乌龟的速度为 1m/s 。于是有：

1) 兔子第一次追上乌龟出发的地方，所花的时间为, $t_1 = \\frac 9 10$ , 而在 t1 时间内，乌龟跑了 $s_1$ （ $t_1$ 乘以乌龟的速度），即： $s1 = t_1 * 1m/s = \\frac 9 10$

2）兔子要第二次追上乌龟上述的出发点，即要追上 $s_1$ 路程，所花的时间 $t_2 = s_1/ 兔子的速度 = (9/10) / 10 = 9/100$ 。而乌龟在 t2 时间内又跑了 $s_2= t_2* 乌龟的速度 = (9/100)*1 = \\frac 9 100$

3）依此类推，兔子第三次追上乌龟的起跑点，所需时间为 $t_3 = \\frac 9 100$ .
…) 无穷次的追赶，免子真的能追上乌龟吗？

假设真的能追上的话，那兔子要花多少时间呢？很简单，只需把 $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ , … 一直加到无穷大项就可以了，即：

$t_1 + t_2 + t_3 + …+t_n + … = \\frac 9 10 + \\frac 9 100 + … + \\frac 9 10^n + … = 0.9 + 0.09 + 0.009 + … + \\frac 9 10^n + … = 0.999…$

请注意，上式不是一个极限，而是一个级数。它的值是0.999999999999…( 无限个 9) 。 1/3 等于多小， 0. 循环 3 吧，因为不能整除，结果有无穷个 3 ，为了表示这一结果，使用 0. 循环 3 来表示。循环之意，表示后面有无穷多个重复。依照此定义，那么 0.999…..( 无穷多个 9) 等于 0. 循环 9 。所以免子能追上乌龟的话，它花的时间是 0. 循环 9 ，这一时间量显然不大于 1 ，所在兔子还是很快就能追上乌龟的。那 0. 循环 9 这一值到底是多少呢？我们用高中数学知识算一算就可以了：