蓝桥杯 - 试题 J: 砍竹子(双向链表+堆/思维)

Posted 2022-07-29 Frozen_Guardian

题目大意：给出一排 $n$ 个竹子的高度，每次操作可以选择连续的，高度相同的竹子，使其高度变为 $\lfloor \sqrt{\lfloor \frac{H}{2}+1\rfloor }\rfloor$，问最少需要执行多少次操作可以使得所有竹子都变成 $1$

题目分析：最朴素的思路就是去模拟，赛时想到的也是这个思路，但是没时间去写了，就打了个 $O(n^{2}logn)$ 的暴力骗了点分

首先需要知道每次操作的一个性质，根号和除以二相结合，使得 $1e18$ 的数字没有几次就会下降成 $1$，这里视为 $log$ 的复杂度是完全可以的

那么模拟的思路就呼之欲出了：

1. 将序列去重（去掉相邻重复的部分）
2. 找到最大值，执行一次操作

赛时感觉需要用线段树或平衡树来维护，没有多想，赛后经过帽帽鸽的提醒，发现这个模型可以套用双向链表+堆的思路去实现。简单来说就是对序列维护一个双向链表，对于需要合并的一段，压缩成一个点，扔进堆里每次选择最大值即可，时间复杂度 $O(nlo{g}^{2}n)$

赛后和杨大佬讨论之后发现了另一个思路，对于一个位置 $i$ 来说，合并带来最直接的影响就是将 $i-1$、$i$、以及 $i+1$ 视为了一个整体，之后的操作实质上也完全可以视为一个整体了。所以我们不妨对于任意一个位置 $i$ 来说，只关注其两个状态：

1. 与位置 $i-1$ 合并之前，每次需要花费一次操作
2. 与位置 $i-1$ 合并之后，每次借助 $i-1$ 操作即可，无需额外的花费

如何实现呢？因为每个数字下降为 $1$ 的过程必定会产生一个序列，我们只需要关注 $i-1$ 的序列和 $i$ 的序列，最长公共后缀的长度就好了，妙啊

时间复杂度还是 $O(nlo{g}^{2}n)$

代码：
双向链表+堆

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+100;
int nt[N],pre[N],n;
LL a[N];
bool ban[N];
void del(int x) 
	ban[x]=true;
	nt[pre[x]]=nt[x];
	pre[nt[x]]=pre[x];

LL cal(LL x) 
	return sqrt(x/2+1);

void init() 
	pre[0]=0;
	nt[n+1]=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		nt[i]=i+1;
		pre[i]=i-1;
	

int main() 
	cin>>n;
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		scanf("%lld",a+i);
	
	priority_queue<pair<LL,int>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(a[i]==a[i-1]) 
			del(i);
		 else 
			q.push(a[i],i);
		
	
	int ans=0;
	while((int)q.size()>1) 
		int pos=q.top().second;
		q.pop();
		if(ban[pos]) 
			continue;
		
		if(a[pos]==1) 
			continue;
		
		ans++;
		a[pos]=cal(a[pos]);
		if(a[pos]==a[pre[pos]]) 
			del(pre[pos]);
		
		if(a[pos]==a[nt[pos]]) 
			del(nt[pos]);
		
		q.push(a[pos],pos);
	
	cout<<ans<<endl;
	return 0;

思维

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+100;
vector<LL>node[N];
int main() 
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		LL x;
		scanf("%lld",&x);
		while(x>1) 
			node[i].push_back(x);
			x=sqrt(x/2+1);
		
		reverse(node[i].begin(),node[i].end());
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		int len=(int)min(node[i].size(),node[i-1].size());
		for(int j=0;j<len;j++) 
			if(node[i][j]!=node[i-1][j]) 
				len=j;
				break;
			
		
		ans+=(int)node[i].size()-len;
	
	cout<<ans<<endl;
	return 0;