[NOI2019]斗主地
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[NOI2019]斗主地相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
斗主地
题解
我们可以先来考虑位置
i
i
i的牌一轮中被洗到位置
j
j
j的概率。
如果
i
⩽
A
i\\leqslant A
i⩽A，贡献显然是
(
n
−
j
)
!
A
!
(
n
−
A
)
!
n
!
(
A
−
i
)
!
(
n
−
A
−
j
+
i
)
!
(
j
−
1
i
−
1
)
=
(
j
−
1
i
−
1
)
(
n
−
j
A
−
i
)
(
n
A
)
\\frac(n-j)!A!(n-A)!n!(A-i)!(n-A-j+i)!\\binomj-1i-1=\\frac\\binomj-1i-1\\binomn-jA-i\\binomnA
n!(A−i)!(n−A−j+i)!(n−j)!A!(n−A)!(i−1j−1)=(An)(i−1j−1)(A−in−j)，我们可以把每个
i
i
i到
j
j
j的贡献的算出来，这相当于一个矩阵。
初始值相当于是一个向量，它乘上这
m
m
m个矩阵就相当于进行了
m
m
m次洗牌。
而所有
A
A
A都相等的部分相当于是直接矩阵快速幂，这样我们就能拿到
40
p
t
s
40pts
40pts了。
但让我们理性观察一下后面的点，它们的
n
n
n都达到了
1
0
7
10^7
107的级别，显然不可能用我们上面矩阵的方法做了，理性考虑一下还有什么可能做的方法。
我们观察一下初始的这些
f
(
i
)
=
i
f(i)=i
f(i)=i和
f
(
i
)
=
i
2
f(i)=i^2
f(i)=i2，它们好像都是多项式的形式，理性猜测一下， 我们变化后每个位置的
f
′
(
i
)
f'(i)
f′(i)依旧是一个多项式。
然后你随便打个插值什么的，可以发现，
t
y
p
=
1
typ=1
typ=1就是一个一次多项式，
t
y
p
=
2
typ=2
typ=2是一个二次多项式。
所以我们可以暴力手算出下一轮三个位置上的值，然后把下一轮的多项式给插出来。
好的，做法这里就讲完了，下面我们来讲讲它为什么是一个多项式。
考虑归纳证明，显然，最开始它肯定是多项式，考虑多项式变化一轮后的样子。
首先，多项式肯定是可以通过斯特林反演变化成组合数的，我们假定我们上一层的多项式为
f
(
x
)
=
∑
k
a
k
(
x
−
1
k
)
f(x)=\\sum_ka_k\\binomx-1k
f(x)=∑kak(kx−1)。(这里化成
(
x
−
1
k
)
\\binomx-1k
(kx−1)而不是
(
x
k
)
\\binomxk
(kx)是为了后面好做点)
考虑下一层位置
i
i
i上的值怎么计算，利用我们上面推出来的贡献，这里照样是只算
⩽
A
\\leqslant A
⩽A部分的贡献值，因为大于
A
A
A的与小于
A
A
A的部分形式是基本一样的，如果小的部分是多项式，大的部分也会是多项式。
f
i
′
=
∑
k
a
k
(
n
A
)
∑
j
=
1
A
(
j
−
1
k
)
(
i
−
1
j
−
1
)
(
n
−
i
A
−
j
)
=
∑
k
a
k
(
n
A
)
∑
j
=
1
A
(
i
−
1
k
)
(
i
−
k
−
1
j
−
k
−
1
)
(
n
−
i
A
−
j
)
=
∑
k
a
k
(
i
−
1
k
)
(
n
A
)
∑
j
=
1
A
−
k
−
1
(
i
−
k
−
1
j
)
(
n
−
i
A
−
j
−
k
−
1
)
=
∑
a
k
(
n
−
k
−
1
A
−
k
−
1
)
(
n
A
)
(
i
−
1
k
)
f'_i=\\sum_k\\fraca_k\\binomnA\\sum_j=1^A\\binomj-1k\\binomi-1j-1\\binomn-iA-j\\\\ =\\sum_k\\fraca_k\\binomnA\\sum_j=1^A\\binomi-1k\\binomi-k-1j-k-1\\binomn-iA-j\\\\ =\\sum_k\\fraca_k\\binomi-1k\\binomnA\\sum_j=1^A-k-1\\binomi-k-1j\\binomn-iA-j-k-1\\\\ =\\sum\\fraca_k\\binomn-k-1A-k-1\\binomnA\\binomi-1k
fi′=k∑(An)akj=1∑A(kj−1)(j−1i−1)(A−jn−i)=k∑(An)akj=1∑A(ki−1)(j−k−1i−k−1)(A−jn−i)=k∑(An)ak(ki−1)j=1∑A−k−1(ji−k−1)(A−j−k−1n−i)=∑(以上是关于[NOI2019]斗主地的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
[NOI2019]斗主地 [拉格朗日插值, 找规律, 组合数学]