0基础运筹学超详细列生成（Column Generation）

Posted 2022-07-13 ymzhu385

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了0基础运筹学超详细列生成（Column Generation）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

之前一直想跟大家分享一下列生成（Column generation），也全网搜了许多文档、视频、论文等。大部分教程抽象程度较高，需要具备大量的基础知识才能看明白，于是写一篇尽可能0基础上手的分享，希望能帮到也在从事相关行业的你。

一定有人会问，有没有行生成算法？当然有啦！！！有机会之后给大家分享！！！——@小猪快跑

从一个例子出发：Cutting Stock Problem

问题描述

卖家有3种长度的木材：9cm（5元），14cm（9元），16cm（10元）。
买家需要木材：4cm（30根），5cm（20根），7cm（40根）。
于是卖家需要通过切割木材满足买家的需求，而且卖家希望成本最低从而达到受益最大。

分析

首先我们来简单思考下，一根9cm的木材能有多少种切法满足买家需要的4cm，5cm，7cm

cost（元）	切前木材长度（cm）	4cm木材数量	5cm木材数量	7cm木材数量
5	9	1	0	0
5	9	2	0	0
5	9	0	1	0
5	9	1	1	0
5	9	0	0	1

本着不浪费的中华传统美德，显然第二行的切法比第一行更好一些哟(＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
我们一般习惯称一种切割方法为cutting pattern。
好啦，之后就非常easy的搞定之后的（只保留比较好的pattern）。

All Cutting Pattern：

cost（元）	切前木材长度（cm）	4cm木材数量	5cm木材数量	7cm木材数量	符号
5	9	2	0	0	$x_1$
5	9	1	1	0	$x_2$
5	9	0	0	1	$x_3$
9	14	3	0	0	$x_4$
9	14	2	1	0	$x_5$
9	14	1	2	0	$x_6$
9	14	1	0	1	$x_7$
9	14	0	1	1	$x_8$
9	14	0	0	2	$x_9$
10	16	4	0	0	$x_10$
10	16	2	0	1	$x_11$
10	16	1	1	1	$x_12$
10	16	0	3	0	$x_13$

于是我们只需要从All Cutting Pattern里面确定每个Pattern需要几次就行了。（举个例子：比如 $\\bmx_1=30$ 代表我们使用第1种切法切了30根9cm长度的木材）。

我们目标是用最少的钱完成买家的需求，也就是每个Pattern的 $\\bmcost\\times \\textbf数量$ 的总和。

$5x_1+5x_2+5x_3+9x_4+9x_5+9x_6+9x_7+9x_8+9x_9+10x_10+10x_11+10x_12+10x_13$

另外呢我们需要满足买家数量上的要求。
4cm要超过30根：

$2x_1+x_2+0x_3+3x_4+2x_5+x_6+x_7+0x_8+0x_9+4x_10+2x_11+x_12+0x_13\\geq 30$

5cm要超过20根：

$0x_1+x_2+0x_3+0x_4+x_5+2x_6+0x_7+x_8+0x_9+0x_10+0x_11+x_12+3x_13\\geq 20$

7cm要超过70根：

$0x_1+0x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7+x_8+2x_9+0x_10+x_11+x_12+0x_13\\geq 40$

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