数据结构与算法:树 AVL平衡二叉排序树

Posted 2022-07-12 android超级兵

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构与算法:树 AVL平衡二叉排序树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Tips: 采用java语言,关注博主,底部附有完整代码

工具:IDEA

本系列介绍的是数据结构: 树

这是第九篇目前计划一共有12篇:

二叉树入门
顺序二叉树
线索化二叉树
堆排序
赫夫曼树(一)
赫夫曼树(二)
赫夫曼树(三)
二叉排序树(BST)
平衡二叉排序树AVL 本篇
2-3树,2-3-4树,B树 B+树 B*树了解
红黑树(一)
红黑树(二)

敬请期待吧~~

高光时刻:

添加情况分析:

情况一(左旋)	情况二(右旋)	情况三(左旋右旋)	情况四(右旋左旋)

删除情况分析:

情况一(右旋)	情况二(左旋)	情况三(右旋左旋 )	情况四(左旋右旋)

基本介绍

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树

AVL树

特点:

AVL树首先是一颗二叉排序树(BST)
根节点左子树高度和右子树高度相差高度最大为1
每一个左子树和右子树也都是AVL树
AVL树的结构一定是‘扁平的’

一张图搞懂:

定义结点类

public class AVLNode 

    int value;

    // 左子结点
    AVLNode leftNode;

    // 右子结点
    AVLNode rightNode;

    public AVLNode(int value) 
        this.value = value;
    

    @Override
    public String toString() 
        return "SortTreeNode" +
                "value=" + value +
                '';
    
    
    // 搜索当前结点
  	// @param return: [null 不存在]
    public AVLNode search(int value) 
			.....
    

    // 搜索当前结点的父结点
    public AVLNode searchParent(int value) 
       	..........
    
  
  	// 中序遍历
    public void show() 
       ...

这里隐藏了三个方法

搜索当前结点
搜索当前结点的父结点
中序遍历

是因为上一篇:二叉排序树(BST)已经说过了,就不重复介绍了,代码很简单,有需要的话翻过去看看吧~

添加结点

public void add(AVLNode node) 
    if (node == null) 
        return;
    

    // 如果传入的结点 <= 当前结点
    // 说明当前结点应该存放在左子结点上
    if (node.value <= value) 
        // 如果左子结点为null 说明是叶子结点 直接存放即可
        if (leftNode == null) 
            leftNode = node;
         else 
            leftNode.add(node);
        
    
    // 如果传入的结点 >= 当前结点
    // 说明当前结点应该存放在右子结点上
    if (node.value >= value) 

        // 如果左子结点为null 说明是叶子结点 直接存放即可
        if (rightNode == null) 
            rightNode = node;
         else 
            rightNode.add(node);
        
    
  /// .... 旋转......

添加结点和上一篇讲的也一模一样

但是如果真这样写,那不就成了BST树了么,先来分析情况,然后再看代码

情况一 (左旋)

假设当前树结构是这样的,在没添加12之前,这是一颗AVL树

但是一旦添加了12就不满足AVL树的特性了

因为右子树高度 - 左子树高度 = 2 ,说明已经不平衡了

那么就以root结点为“支点” 向左旋转一下

转变前中序遍历结果为: 5, 6, 7, 8, 9, 12

转变后的中序结果为: 5, 6, 7, 8, 9, 12

说明是成功的!

那么问题就来了,如何左旋?

这张图很重要一定要多看几遍,左旋搞不懂,AVL树就不用看了!!

这里支点是根节点

左旋是将支点的右子结点指向支点的右子结点的左子结点

支点的右子结点指向支点

这几个字分开都认识,合在一起好像是有点晕,直接看完整流程图!

一共拆分成了6步:

创建一个新结点,和root结点相同
将原本left结点赋值到新结点左子结点上
将原本右结点的左结点,赋值到新结点的右结点上
将根节点转变为右结点
将根节点右结点赋值为右结点的右结点
将新结点赋值到左结点上

来看一眼代码:

# AVLNode.java
 
// 左旋
public void leftRotate() 
    // 1. 创建一个新结点 和 root结点相同
    AVLNode newNode = new AVLNode(value);

    // 2. 将原本left结点赋值到新结点上
    newNode.leftNode = leftNode;

    // 3. 将原本右结点的左结点 赋值到新结点的右结点上
    newNode.rightNode = rightNode.leftNode;

    // 4. 将根节点转变为右结点
    value = rightNode.value;

    // 5. 将根节点右结点赋值为右结点的右结点
    // 此时根节点就转变了!
    rightNode = rightNode.rightNode;

    // 6. 将新结点复制到左结点上
    leftNode = newNode;

那么知道了左旋,代码应该怎么写呢?

现在已知条件是右子树高度 - 左子树高度 >= 2 需要左旋

那么树的高度怎么计算呢?

# AVLNode.java
  
// 获取树的高度
public int height() 
    int leftH = leftNode == null ? 0 : leftNode.height();
    int rightH = rightNode == null ? 0 : rightNode.height();
    return Math.max(leftH, rightH) + 1;


 // 左子树高度
public int leftHeight() 
  return leftNode == null ? 0 : leftNode.height();


// 右子树高度
public int rightHeight() 
  return rightNode == null ? 0 : rightNode.height();

这里要注意,不是什么树都能获取树的高度的!

这里是通过递归获取到树的高度,这里能使用递归完全是因为是AVL树,AVL树的结构一定是扁平的,

这里细品一下!

获取到了树的高度,那么直接旋转即可

public void add(AVLNode node) 
    if (node == null) 
        return;
    
			....
		// 添加结点

     // 右子树高度 - 左子树高度  >= 2 说明需要 '左旋转'
    if ( rightHeight() - leftHeight()  >= 2) 
      leftRotate();

情况二 (右旋)

右旋和左旋道理一样,来看一张图什么情况下需要右旋

如果左子树高度 - 右子树高度 >= 2 说明这棵树已经不平衡了,需要右旋

来看看右旋代码

# AVLNode.java
// 右旋
public void rightRotate() 
    // 1. 创建一个新结点 和 root结点相同
    AVLNode newNode = new AVLNode(value);

    // 2. 将原本left结点赋值到新结点上
    newNode.rightNode = rightNode;

    // 3. 将原本左结点的右结点 赋值到新结点的左结点上
    newNode.leftNode = leftNode.rightNode;

    // 4. 将根节点转变为左结点
    value = leftNode.value;

    // 5. 将根节点左结点赋值为左结点的左结点
    leftNode = leftNode.leftNode;

    // 6. 将新结点复制到左结点上
    rightNode = newNode;

右旋和左旋步骤一样,都是分了6步! 只不过是相反的方向罢了

那么代码也很好写了

public void add(AVLNode node) 
    if (node == null) 
        return;
    
			....
		// 添加结点

     // 右子树高度 - 左子树高度  >= 2 说明需要 '左旋转'
    if ( rightHeight() - leftHeight()  >= 2) 
      leftRotate();
    
  
  	// 左子树高度 - 右子树高度 >= 2 说明需要 '右旋转'
    if (leftHeight() - rightHeight() >= 2) 
      rightRotate();

情况三 (左旋右旋)

假设遇到这种情况,当前插入的结点是6,很显然破坏了AVL的平衡性

如果按照之前的情况旋转左子树比右子树高那么就进行右旋转

旋转过后还不是一个合格的AVL树!

现在出现的问题是:

根结点的左子结点的左子树 < 根结点左子结点的右子树

如果出现这种情况,想要平衡的话,又分为2步骤

根节点的左子结点先向左旋转
然后以根节点为支点向右旋转

根节点的左子结点先向左旋转:

然后以根节点为支点向右旋转:

来看看代码怎么写:

# AVLNode.java
  
public void add(AVLNode node) 
    if (node == null) 
        return;
    
			....
		// 添加结点

     // 右子树高度 - 左子树高度  >= 2 说明需要 '左旋转'
    if ( rightHeight() - leftHeight()  >= 2) 
      leftRotate();
    
  
  	// 左子树高度 - 右子树高度 >= 2 说明需要 '右旋转'
    if (leftHeight() - rightHeight() >= 2) 
      // 如果左子结点高度 < 右子结点高度
      if (leftNode != null && leftNode.leftHeight() < leftNode.rightHeight()) 
        // 先让left结点 左旋转
        leftNode.leftRotate();
      
      rightRotate();

情况四 (右旋左旋)

道理一样,直接看看添加的完整代码吧~

public void add(AVLNode node) 
    if (node == null) 
        return;
    

    // 如果传入的结点 <= 当前结点
    // 说明当前结点应该存放在左子结点上
    if (node.value <= value) 
        // 如果左子结点为null 说明是叶子结点 直接存放即可
        if (leftNode == null) 
            leftNode = node;
         else 
            leftNode.add(node);
        
    
    // 如果传入的结点 >= 当前结点
    // 说明当前结点应该存放在右子结点上
    if (node.value >= value) 

        // 如果左子结点为null 说明是叶子结点 直接存放即可
        if (rightNode == null) 
            rightNode = node;
         else 
            rightNode.add(node);
        
    

    // 右子树高度 - 左子树高度 - >= 2 说明需要 '左旋转'
    if (rightHeight() - leftHeight() >= 2) 

        if (rightNode != null && rightNode.leftHeight() > rightNode.leftHeight()) 
            // 右旋转
            rightNode.rightRotate();
        
        leftRotate();
    

    // 左子树高度 - 右子树高度 >= 2 说明需要 '右旋转'
    if (leftHeight() - rightHeight() >= 2) 
        // 如果左子结点不为null 并且 左子结点高度 < 右子结点高度
        // 说明需要先让left左旋转 在整体右旋转
        if (leftNode != null && leftNode.leftHeight() < leftNode.rightHeight()) 
            // 先让left结点 左旋转
            leftNode.leftRotate();
        
        // 在整体右旋转
        rightRotate();

如果细细品味这4种情况,这还是很简单的!

删除结点

Tips: 删除结点也是根据上一篇:二叉排序树(BST)来写的,能够复用的代码全都复用了,只考虑不满足情况下如何处理即可!

情况一 (右旋)

删除结点为10

判断根结点左子树高度和根结点右子树高度
根结点左子树高度 > 根结点右子树高度根结点右旋

情况二(左旋)

删除结点为3

判断根结点左子树高度和根结点右子树高度
如果根结点右子树高度 > 根结点左子树高度
根结点左旋

情况三 (右旋左旋)

当前删除的结点是4

分为3步:

判断根结点右子结点左子树高度 和根结点右子结点右子树高度
右子结点左子树高度 > 右子树右子结点高度,先让根结点右子结点右旋
然后再让根结点左旋

情况四 (左旋右旋)

删除的节点是10

分为3步:

判断根结点左子结点左子树高度和跟结点左子树右子树高度
根结点左子结点右子树高度 > 根结点左子结点左子树高度,根结点左子结点左旋
然后根结点右旋

来看看删除完整代码:

# AVLNode.java
  
public void del(int value) 

    // 判断当前结点是左子结点还是 右子结点
    // TODO 当前结点
    AVLNode searchNode = search(value);

    if (searchNode == null) 
        System.out.println("没有找到结点");
        return;
    

    // TODO 当前结点的父结点
    AVLNode searchParentNode = searchParent(value);

    // 左子结点和右子结点为null 说明是叶子结点
    // TODO 删除叶子结点
    if (searchNode.leftNode == null && searchNode.rightNode == null) 
        // 如果左子结点和当前结点相同 那么就删除左子结点
        ....
     else if (searchNode.leftNode == null) 
        // TODO 删除只有一个叶子结点
	      ....
     else if (searchNode.rightNode == null) 
        // TODO 删除只有一个叶子结点
	      ....
        
     else 
        // TODO 左子结点和右子结点都有值!
				....
    


    // 如果当前左侧高度 - 右侧高度 <= -2 说明需要旋转
    if (leftHeight() - rightHeight() <= -2) 
        // 如果右结点 的左子结点高度 > 右子结点高度 说明需要先让右子结点右旋转 再让整体左旋转
        if (rightNode != null && rightNode.leftHeight() > rightNode.rightHeight()) 
            // 右结点 右旋转
            rightNode.rightRotate();
        
        // 整体左旋转
        leftRotate();
    

    // 如果当前左侧高度 - 右侧高度 >= 2 说明需要旋转
    if (leftHeight() - rightHeight() >= 2) 
        if (leftNode != null && leftNode.leftHeight() < leftNode.rightHeight()) 
            // 左结点 左旋转
            leftNode.leftRotate();
        
        // 整体右旋转
        rightRotate();