李航统计方法（四）---朴素贝叶斯

Posted 2023-03-17

参考技术A 朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。训练的时候，学习输入输出的联合概率分布；分类的时候，利用贝叶斯定理计算后验概率最大的输出。

=c 1 ……c k 。输入特征向量x和输出类标记y分属于这两个集合。X是输入空间上的随机变量，Y是输出空间上的随机变量。P(X,Y)是X和Y的联合概率分布，训练数据集

由P(X,Y)独立同分布产生。

朴素贝叶斯法通过T学习联合概率分布P(X,Y)。具体来讲，学习以下先验概率：

以及条件概率分布：

于是根据联合概率分布密度函数：

学习到联合概率分布P(X,Y)。

的参数数量是指数级的，也就是X和Y的组合很多，假设x j 可能取值S j 个，Y可能取值有K个，那么参数的个数是

。特别地，取xj=S，那么参数个数为KS n ，当维数n很大的时候，就会发生维数灾难。

一维空间中，把一个单位空间（退化为区间）以每个点距离不超过0.01采样，需要10 2 个平均分布的采样点，而在10维度空间中，需要10 20 个点才行。计算方式用Python描述如下：

可视化图像：

这种指数级的复杂度增长被称为维数灾难。

无法计算了。

为了计算它，朴素贝叶斯法对它做了条件独立性的假设：

也就是各个维度的特征在类确定的情况下都是独立分布的。这一假设简化了计算，也牺牲了一定的分类准确率。

基于此假设，以及 贝叶斯定理 ，后验概率为：

拆开，等于上式分母。

将独立性假设代入上式，得到

朴素贝叶斯分类器可以表示为：

也就是给定参数，找一个概率最大的c k 出来。注意到上式分母其实就是P(X=x)，x给定了就固定了，跟c k 一点关系都没有，所以分母可以去掉，得到：

选择0-1损失函数：

f(X)就是分类器的决策函数，损失函数的参数其实是一个联合分布。

此时期望风险函数为：

上面说过，这是一个联合分布P(X,Y)，是一个and（连乘）的形式，由此取条件期望为风险函数：

所谓条件期望，就是指X=x时，Y的期望。上式其实可以这么推回去：

E x ∑[L()]P(c k |X)=∑P(X)∑[L()]P(X,c k )/P(X)=∑[L()]P(X,c k )=E[L()]

格式比较乱，但愿意思到了。

为了最小化上式，只需对每个X=x执行最小化，那么加起来肯定是极小化的，由此有：

其实不用这么一堆公式，光靠感觉也很好理解，给了一些证据后，不挑后验概率最大的，还能挑啥呢？

前面说过，朴素贝叶斯法要学习的东西就是P(Y=c k )和P(X=x|Y=c k )，这两个概率的估计用极大似然估计法（简单讲，就是用样本猜测模型参数，或者说使得似然函数最大的参数）进行：

也就是用样本中c k 的出现次数除以样本容量。

分子是样本中变量组合的出现次数，分母是上面说过的样本中c k 的出现次数。

于是就有朴素贝叶斯算法，先从训练数据中计算先验概率和条件概率，然后对于给定的实例计算最大的条件概率，输出该条件对应的类别。形式化的描述如下：

例子

给定训练数据：

这个太简单了，利用（3）中的式子就行了。

贝叶斯估计

最大似然估计有个隐患，假设训练数据中没有出现某种参数和类别的组合怎么办？此时估计的概率值为0，但是这不代表真实数据中就没有这样的组合。解决办法是采用贝叶斯估计

1、条件概率的贝叶斯估计：

，S j 表示x j 可能取值的种数。分子和分母分别比最大似然估计多了一点东西，其意义是在随机变量每个取值的频数上加一个常量

。当此常量取0时，就是最大似然估计，当此常量取1时，称为拉普拉斯平滑。

2、先验概率的贝叶斯估计：

贝叶斯情感极性分析器

书中例题太简单，不过瘾。这里分析一个基于贝叶斯文本分类器实现的简单情感极性分析器。

调用实例：
# - - coding:utf-8 - -
# Filename: Bayes.py
# Author：hankcs
# Date: 2015/2/6 22:25
from math import log, exp

输出
(u'pos', 0.6666666666666665)

说明“好优秀”这句话具有正能量的概率是66%，虽然“好”这个词语也存在于负极性的语句中，但是分类器还是准确地区分了它。

上面的贝叶斯分类器使用了拉布拉斯平滑处理策略，在进行条件概率的时候，不是连乘，而是取对数相加，最后逐差取指数，这个过程会发生归一化，得出一个概率出来。

情感极性分析器主要参考了snownlp的实现。