[航海协会]给国与赌场

Posted 2022-06-23 StaroForgin

给国与赌场

题目概述

题解

首先我们看第$2$个子任务，容易发现，每次一定是会将现在所有钱都扔进去，然后赢$n$把得到结果。
也就是说，如果我们每次只扔一部分的话，一定是不优的。
形象一点理解的话，如果我们每次都只扔一部分的话，假设我们扔了很多次，由于赢的概率是小于$\frac{1}{2}$的，所以我们进行无数次后，它一定是一个重心在下方的概率分布，大概是这样，随便拿喷枪画的图

可以发现，我们跳得越多，是期望越向下的，所以在$a=1,b=2^n$的情形下，每次都全力往上跳肯定是更优的。
当然，如果你非要让我严谨证明的话，我就只能选择放弃了。
但任意时候都一定是全力往上跳更加优秀吗？并不是的。
事实上，我们观察到，每次我们会使用的值其实是该数的最小的二进制位。
形象点理解，如果我们现在用较高位跳的话，那么之后显然就用不了最低位了，最后加满的时候一定会多出来一位，这不就浪费了吗？
所以我们每次一定都只会加上最低位，事实上，也不太会几位一起加，这也会造成浪费。

于是，我们就能很快的规划出来一个$dp$转移式子，定义$d{p}_{i,0/1}$表示现在的正枚举到原数的第$i$位，并且有没有进位。
定义$g(i)$表示原数在$\frac{1}{2^i}$这里有没有值。可以得到
$$\begin{gathered} f_{i,0}=[g(i+1)]p{f}_{i+1,0}+[\neg g(i+1)](f_{i+1,0}+(1-p)f_{i+1,1}) \\ {f}_{i,1}=[g(i+1)](f_{i+1,1}+(1-p)f_{i+1,0})+[\neg g(i+1)]p{f}_{i+1,1} \end{gathered}$$这样，对于$b=2^n$的情况，我们就能够$O\left(Tn\right)$地$dp$转移求解了。

接下来，让我们想想，如果我们的分母不是$2$的幂该怎么办。
事实上，即使分母不是$2$的幂的话，即使转化成二进制下的小数，也是可以表示成一个循环小数的。
容易发现，非循环部分与循环部分的长度都是不会超过$b$的，因为它在每一位的时候都相当于对于一个$\frac{x}{b}$的形式，检查分子是否大于分母的一半，从而对这一位赋予$0/1$，而$x$也是不会超过$b$的，当然最多只有$b$种。
那么我们对于这样的循环小数该怎么$dp$，乘很多次让它趋近于答案？这是带模的耶。
没事，带模也是可以收敛的嘛。
我们每次的变化不是一个线性变化嘛，所以我们相当于先乘上一些矩阵，再循环乘一些矩阵。
每个循环节显然是可以表示成一个矩阵的，我们乘的是这个矩阵的无穷次方，相当于它收敛后的矩阵。
但我们该怎么求这个矩阵幂的收敛呢？可以注意到这个矩阵实际上是一个马尔科夫矩阵，每一列的和都为$1$，它的收敛我们可以通过特征向量求出。
准确说，就是将特征值为$1$的向量求出来，每列放一个，就是我们收敛后的结果了。
证明网上有很多，这里就不解释了。说实话这篇题解好像什么都没证。
通过计算得到，我们原矩阵$\left[\begin{array}{cc}p& q\\ 1-p& 1-q\end{array}\right]$对应的收敛矩阵为$\left[\begin{array}{cc}\frac{1-p}{1-p+q}& \frac{1-p}{1-p+q}\\ \frac{q}{1-p+q}& \frac{q}{1-p+q}\end{array}\right]$。
我们把循环节的收敛矩阵求出来，乘在非循环的部分矩阵之积上即可。

时间复杂度$O\left(Tb\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 1000005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const double Pi=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
    x*=f;

int gcd(int a,int b)return b?gcd(b,a%b):a;
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int T,a,b,p,q,totd,val[MAXN],d[MAXN];bool vis[MAXN];
struct matrix
    int c[2][2];matrix()
    void clear()
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)c[i][j]=0;
    
    matrix operator * (const matrix &rhs)const
        matrix res;res.clear();
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int k=0;k<2;k++)if(c[i][k])
                for(int j=0;j<2;j++)
                    Add(res.c[i][j],1ll*c[i][k]*rhs.c[k][j]%mo,mo);
        return res;
    
    void print()
        for(int i=0;i<2;i++,[航海协会]基因切割

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