寒假每日一题剪绳子（个人练习）详细题解+推导证明（第六天）

Posted 2022-06-04 我是管小亮

文章目录

• 前言
• 题目
• 详细题解
• • • • 写法1 $O(nlogn)$
      • 推导证明
• 举一反三
• 总结

前言

今天终于出核酸检测的结果，还好大家都没事，不然怕是要封城了！！！

今天还是寒假每日一题，不是软广，不是硬广，只是个人练习，题目来自今日头条2019，笔试题。

我发现二分法真的是个神奇的算法，厉害的人万物皆可二分，虚心学习一下。

题目

有N根绳子，第i根绳子长度为Li，现在需要M根等长的绳子，你可以对N根绳子进行任意裁剪（不能拼接），请你帮忙计算出这M根绳子最长的长度是多少。

输入格式

• 第一行包含2个正整数N、M，表示原始绳子的数量和需求绳子的数量。
• 第二行包含N个整数，其中第 i 个整数Li表示第 i 根绳子的长度。

输出格式

• 输出一个数字，表示裁剪后最长的长度，保留两位小数。

数据范围

• $1\le N,M\le 100000,$
• $0<Li<109$

输入样例：
3 4
3 5 4

输出样例：
2.50

样例解释
第一根和第三根分别裁剪出一根2.50长度的绳子，第二根剪成2根2.50长度的绳子，刚好4根。

详细题解

写法1 $O(nlogn)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100005;

int n, m;
int f[N];

bool check(double mid)

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++ i )
    
        cnt += f[i] / mid;
    
    return cnt >= m;


int main()

    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++ i ) cin >> f[i];
    
    double left = 0, right = 1e9;
    while (right - left > 1e-4)
    
        double mid = (left + right) / 2;
        if (check(mid)) left = mid;
        else right = mid;
    
    printf("%.2lf", right);
    
    return 0;

毫无疑问个锤子，我真的是服气了这个题，通过增加一个额外的条件，把最优化问题转换成判定问题，o(￣▽￣)ｄ

现在来好好复盘一下这个题目。

首先题目很多人读蒙了，其实就是给你 n 多条绳子，和需要 m 条绳子，让你求一个最后裁剪完的绳子的最大值，具体以实例来说。

输入样例：
3 4
3 5 4

输出样例：
2.50

样例解释
第一根和第三根分别裁剪出一根2.50长度的绳子，第二根剪成2根2.50长度的绳子，刚好4根。

现在一共是 3 条绳子，分别是3 5 4，最后需要 4 条绳子，所以你需要对 3 条绳子进行裁剪。那么怎么才能让这 4 条绳子的长度和最大呢？自然是在满足绳子数量为 4 的前提下，让每一条绳子最长。

比如，

• 如果让每一条绳子都是 1 的话，肯定是可以满足 4 条绳子的概念的，但是 1 * 4 = 4，这就看起来很小了；
• 如果让每一条绳子都是 2 的话，第一条绳子 3 可以裁剪出一个 2 来，第二条绳子 5 可以裁剪出 2 个 2 来，第三条绳子 4 也能裁剪出一个 2 来，这样就是4条绳子了，综合 2 * 4 = 8，肯定是比 4 要大的。
• 以此类推，所以这是一个浮点数量级的题目。

那么如何转换成二分法呢？

现在给定每一条绳子的最大值和最小值，那么裁剪之后的绳子长度一定在这两个值之间，但是这个绳子的长度是如何限制的呢？没错，就是需求的绳子数量 m，所以通过遍历 n 条绳子，让每一条绳子对长度 mid 进行向下取整，即可得到所有绳子中能裁剪成 mid 长度的绳子数量，如果这个数量是大于或者等于 m 的，那么说明 mid 是可以的，甚至可以更大，否则就是需要更小。

最后提交，AC😁

推导证明

其实转换成二分法之后，这个题目就已经完成了，来画个图简单分析一下。

这里我例举了四种情况，分别是两种小的时候，一种大的时候，还有一种最优解的时候。

可以看出，

• 如果长度设置太小，那么就会导致最终长度和太小，同时数量可能会偏大；
• 如果长度设置太大，那么就会导致数量不符合；
• 只有长度正正好，才能在保持数量符合的前提下，让最终长度和最大。

举一反三

浮点数二分法

总结

继续努力，坚持更新，重新翻看《雪中悍刀行》，还是会被李淳罡的风采折服，6th打卡。

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