：函数极限连续：第三节：连续

Posted 2022-06-03 快乐江湖

文章目录

• 一：连续性的概念
• 二：间断点
• • （1）间断点的定义
  • （2）间断点的分类
• 三：连续运算性质
• 四：闭区间上连续函数的性质

一：连续性的概念

定义1：若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，则称$y=f(x)$在$x_0$处连续

定义2：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在$x_0$处连续

• 若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在$x_0$处左连续
• 若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在$x_0$处有右连续

定义3：$f(x)$连续<=$f(x)$左连续且右连续

二：间断点

（1）间断点的定义

定义：若$f(x)$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点

（2）间断点的分类

第一类间断点：左右极限都存在

• 可去间断点：左右极限都存在且相等
• 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

• 无穷间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$
• 振荡间断点：例如函数$y=sin\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义，且左右极限都不存在，这是由于当$x\to 0$时，其函数值在(-1,1)之间无穷振荡
• 其它类型：

三：连续运算性质

定理1：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

定理1：连续函数的复合函数仍为连续函数

定理3：基本初等函数在其定义域内仍为连续函数

• 定义域只有一个

定理4：初等函数在其定义区间内仍为连续函数

• 定义区间可能有多个，但总归在定义域之内

四：闭区间上连续函数的性质

有界性定理：若$f(x)$在区间[a,b]上连续，则$f(x)$在[a,b]上有界

最值定理：若$f(x)$在区间[a,b]上连续，则$f(x)$在[a,b]上必有最大值和最小值

介值定理：若$f(x)$在区间[a,b]上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$与$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=C$

• 推论：若$f(x)$在区间[a,b]上连续，则$f(x)$在[a,b]上可取介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一初值

介零点定理：若$f(x)$在区间[a,b]上连续，且$f(a)\ast f(b)<0$，则必$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$