分治策略Divide and Conquer

Posted 2022-06-02 松子茶

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，通常是递归算法，就是 把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可…而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

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分治策略的基本思想

分治算法是 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。如果原问题可分割成$k$个子问题，$1<k≤n$，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

熟悉的例子

二分查找: 给定已按升序排好序的$n$个元素$a[0:n-1]$，现要在这$n$个元素中找出一特定元素$x$。

算法 1 $binarysearch(T,x)$
输入：排好序的数组$T$；数$x$
输出：$j$
1. $l \\longleftarrow1;r \\longleftarrow n$
2. $while \\ l \\le r \\ do$
3. $\\ \\ \\ \\ \\ m \\longleftarrow \\lfloor \\fracl+r2 \\rfloor$
4.$\\ \\ \\ \\ \\ if \\ T[m] = x \\ then \\ return \\ m$
5.$\\ \\ \\ \\ \\ else \\ if \\ T[m] \\ge x \\ then \\ r \\longleftarrow m-1$
6.$\\ \\ \\ \\ \\ else \\ l \\longleftarrow m+1$
7.$return \\ 0$

分析：

1、该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2、该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;
3、分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；
4、分解出的各个子问题是相互独立的。

很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在$a[i]$的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。

#include <iostream>
using namespace std;

// 查找成功返回value索引，查找失败返回-1
template <class T>
int binary_search(T array[],const T& value,int left,int right)
    while (right >= left) 
        int m = (left + right) / 2;
        if (value == array[m])
            return m;
        if (value < array[m])
            right = m - 1;
        else
            left = m + 1;
    
    return -1;


int main()

    int array[] = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

    cout << "0 in array position: " << binary_search(array,0,0,9) << endl;
    cout << "9 in array position: " << binary_search(array,9,0,9) << endl;
    cout << "2 in array position: " << binary_search(array,2,0,9) << endl;
    cout << "6 in array position: " << binary_search(array,6,0,9) << endl;
    cout << "10 in array position: " << binary_search(array,10,0,9) << endl;

    return 0;

算法复杂度分析：

$$\\left\\ \\beginarrayl W(n) = W(\\lfloor\\fracn2\\rfloor)+1 \\\\[2ex]W(1) =1\\endarray \\right.$$
每执行一次算法的while循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。

上述算法就是用分治算法，它们的共同特点是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

分治算法的一般性描述

对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。分治算法divide-and-conquer的伪码描述如下：

算法2: $divide-and-conquer(P)$
1.$if (|P|\\le c ) \\ S(P)$ // 解决小规模的问题
2. divide P into smaller subinstances $P_1,P_2,…,P_k$ //分解问题
3. for i=1 to k do
4. $y_i \\leftarrow divide-and-conquer(P_i)$ //递归的解各子问题
5. ReturnMerge(y1,y2,以上是关于分治策略Divide and Conquer的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

分治（Divide and Conquer）算法之归并排序

分治法 ( Divide And Conquer ) 详解

The Divide and Conquer Approach - 归并排序

归并排序

归并排序

排序归并排序