层次分析法：CI究竟是怎样和n扯上关系的?

Posted 2022-05-25 slandarer

本来觉得层次分析法相关的文章多如牛毛，并没有什么讲解的必要，但是突然发现大部分文章对于原理性的分析完全掠过，这里进行一个详尽的分析。这篇文章主要讲解一下以下几个内容：

• 何为矩阵一致性？
• $CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$为什么减的是n？
• 为什么是$({\lambda }_{max}-n)$不是$(n-{\lambda }_{max})$？
• $CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$为什么除的是(n-1)？
• 何为$RI$？

何为矩阵一致性？

人的感觉是不准确的，我们已经假设A比B牛逼2.5倍，假设B比C牛逼3.5倍，按照常理来说A比C牛逼8.75倍，但人不是机器，感觉不是数值，有些人可能会觉得A比C牛逼一大截，但是这个倍数可能是5倍可能是10倍，甚至有一些人可能会认为A不如C。

因此一致性检验就是检验你的人为判断是不是合理，判断你有没有“猫抓老鼠、大象克猫，老鼠克大象”这样循环克制的离谱判断：

因此，何为具有完全一致性的判断矩阵？

假设你各个指标的权重为${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$，那么你的判断矩阵就应该是：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\omega }_1}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_1}{{\omega }_n}\\ \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_2}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_2}{{\omega }_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\omega }_n}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_n}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_n}{{\omega }_n}\end{array}\right]=[\begin{array}{cccc}1& \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_1}{{\omega }_n}\\ \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}& 1& \dots & {\omega }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ \frac{{\omega }_n}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_n}{{\omega }_2}& \dots & \end{array}$$