LeetCode 6077. 巫师的总力量和

Posted 2022-05-24 英雄哪里出来

文章目录

• 一、题目
• • 1、题目描述
  • 2、基础框架
  • 3、原题链接
• 二、解题报告
• • 1、思路分析
  • 2、时间复杂度
  • 3、代码详解
• 三、本题小知识
• 四、加群须知

一、题目

1、题目描述

  作为国王的统治者，你有一支巫师军队听你指挥。给你一个下标从 0 开始的整数数组 strength，其中 strength[i]表示第 i位巫师的力量值。对于连续的一组巫师（也就是这些巫师的力量值是 strength的 子数组），总力量 定义为以下两个值的 乘积 ：
  巫师中 最弱 的能力值。
  组中所有巫师的个人力量值 之和。
  请你返回 所有巫师组的总力量之和。由于答案可能很大，请将答案对 $10^9+7$ 取余 后返回。
  样例输入： strength = [1,3,1,2]
  样例输出： 44

2、基础框架

• C++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution 
public:
    int totalStrength(vector<int>& strength) 
        
    
;

3、原题链接

LeetCode 6077. 巫师的总力量和

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ 恶心！一看到题目，就知道一定又是 $10^5$，所以 $O(n^2)$ 是肯定过不了的。
  $(2)$ 将样例的数据抽象成二维的直方图，数据的值代表高度。

  $(3)$ 如果枚举任意一块直方图 $i$，以它为最低点，找左边能够到达的最远边界，以及右边能够到达的最远边界，左边界定义为 $l_i$，右边界定义为 $r_i$

  $(4)$ 接下来问题就转换成在 $[l_i,i]$ 找一个下标 $j$，并且在 $[i,r_i]$ 找一个下标 $k$，并且求 ${\sum }_{o=j}^{k}h[o]$。
  $(5)$ 于是，对于第 $i$ 个直方图，以它为最低点，得到的力量值应该就是 $$h[i]\times \sum _{j=l_i}^i\sum _{k=i}^{r_i}\sum _{o=j}^{k}h[o]$$
  $(6)$ 如果我们知道 $h[i]$ 的前缀和 $s[i]$，就可以将第三个循环优化掉，如下：$$h[i]\times \sum _{j=l_i}^i\sum _{k=i}^{r_i}(s[k]-s[j-1])$$
  $(7)$ 假设 $j$ 为常量，则将最内层的求和进行展开，得到：
$$\begin{array}{rl}& =h[i]\times \sum _{j=l_i}^i(s[i]-s[j-1])+...+(s[r_i]-s[j-1])\\ & =h[i]\times \sum _{j=l_i}^i(s[i]+...+s[r_i])-(r_i-i+1)s[j-1]\end{array}$$
  $(8)$ 如果我们知道 $s[i]$ 的前缀和 $ss[i]$，就可以将上述的求和优化掉，如下：$$h[i]\times \sum _{j=l_i}^i(ss[r_i]-ss[i-1])-(r_i-i+1)s[j-1]$$
  $(9)$ 如果这样计算，枚举 $i$ 和 $j$，最坏时间复杂度是 $O(n^2)$，于是，我们而已考虑假设 $k$ 作为常量的情况，得到如下等式：
= h [ i ] × ∑ j = l i i ∑ k = i r i ( s [ k ] − s [ j − 1 ] ) = h [ i ] × ∑ k = i r i ( s [ k ] − s [ l i − 1 ] ) + . . . + ( s [ k ] − s [ i − 1 ] ) = h [ i ] × ∑ k = i r i ( i − l i + 1 ) s [ k ] − ( s [ l i − 1 ] + . . . + s [ i −