数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
0. 问题描述
给定一个复杂方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0,如果直接求解其解析解非常复杂或者难以求解的话,那么可以通过数值求解的方法得到一定精度条件下的数值解。
1. 实根的对分法
对分法使用的条件需要满足:
- f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续;
- f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a) \\cdot f(b) < 0 f(a)⋅f(b)<0;
那么, f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]中必然存在至少一个零点,我们可以使用二分法不断地迭代求解。
给出python伪代码如下:
def bisect_solve(fn, a, b, epsilon=1e-9):
assert(fn(a) * fn(b) < 0)
while b - a >= epsilon:
m = (a + b)/2
if fn(m) * fn(a) > 0:
a = m
elif fn(m) * fn(b) > 0:
b = m
else:
return m
return (a+b)/2
2. 迭代法
迭代法的思路是说,将方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0 改写为方程 x = φ ( x ) x = \\varphi(x) x=φ(x)。
此时,我们可以构造迭代关系 x k + 1 = φ ( x k ) x_k+1 = \\varphi(x_k) xk+1=φ(xk),如果数列 x k x_k xk收敛,那么数列 x k x_k xk的极限 l i m k → ∞ x k lim_k \\to \\infty x_k limk→∞xk 即为目标方程的解。
而关于数列的收敛条件的判断,我们有定理:
定理 4.1
若 φ ( x ) \\varphi(x) φ(x)定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,且满足:
(1) 当 x ∈ [ a , b ] x \\in [a, b] x∈[a,b]时,有 a ≤ φ ( x ) ≤ b a \\leq \\varphi(x) \\leq b a≤φ(x)≤b;
(2) φ ( x ) \\varphi(x) φ(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可到,且存在正数 L < 1 L < 1 L<1,使得对于任意 x ∈ [ a , b ] x \\in [a, b] x∈[a,b],有 ∣ φ ′ ( x ) ∣ ≤ L |\\varphi'(x)| \\leq L ∣φ′(x)∣≤L;
则在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上有唯一的点 x ∗ x^* x∗满足 x ∗ = φ ( x ∗ ) x^* = \\varphi(x^*) x∗=φ(x∗),称 x ∗ x^* x∗为 φ ( x ) \\varphi(x) φ(x)的不动点,且迭代格式 x k + 1 = x k x_k+1 = x_k xk+1=xk对任意的初值 x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \\in [a,b] x0∈[a,b]均收敛于 φ ( x ) \\varphi(x) φ(x)的不动点 x ∗ x^* x∗,且有误差估计式:
∣ x ∗ − x k ∣ ≤ L k 1 − L ∣ x 1 − x 0 ∣ |x^* - x_k| \\leq \\fracL^k1-L|x_1 - x_0| ∣x∗−xk∣≤1−LLk∣x1−x0∣
同样的,我们可以给出python伪代码实现如下:
def iter_solve(fn, x, epsilon=1e-9):
MAX_ITER_TIME = 10**7
for _ in range(MAX_ITER_TIME):
y = fn(x)
if abs(y-x) <= epsilon:
return y
x = y
return x
3. Newton迭代法
Newton迭代法的思路来源于泰勒展开,给出Talyer展开公式如下:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ⋅ ( x − x 0 ) 2 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ⋅ ( x − x 0 ) n + . . . f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \\cdot (x-x_0) + \\fracf''(x_0)2! \\cdot (x-x_0)^2 + ... + \\fracf^(n)(x_0)n! \\cdot (x-x_0)^n + ... f(x)=f(x0)+f′(x0)⋅(x−x0)+2!f′′(x0)⋅(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)⋅(x−x0)n+...
如果视二阶以上的结果为小量,则有:
x ≃ x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x \\simeq x_0 + \\fracf(x) - f(x_0)f'(x_0) x≃x0+f′(x0)f(x)−f(x0)
当 x x x为零点时,有 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0,因此,我们近似即有:
x
≃
x
0
−
f
(
x
0
)
f
′
(
x
以上是关于数值计算方法 Chapter4. 非线性方程求根的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章