特征值问题误差分析：Babuska–Osborn紧算子谱逼近理论

Posted 2022-05-21 陆嵩

特征值问题误差分析：Babuska–Osborn紧算子谱逼近理论

文章目录

• • 特征值问题误差分析：Babuska–Osborn紧算子谱逼近理论
  • • 从一个简单的例子开始
    • • 一维例子
      • P1 元逼近
      • 一些观测和思考
    • 一些基本定义
    • 变分特征值问题
    • • 特征值问题
      • 特征值刻画
      • 误差的刻画
    • Babuska-Osborn 理论
    • • 收敛性
      • 通常的框架
      • 收敛阶
      • 对称变分特征值问题

上午好，各位。非常荣幸站在这里。且，今天我想给大家分享一些关于特征值问题的误差分析。
关于我们的讨论班，我提议用说英文。就是，关于我们的讨论班，我提一个建议。我觉得大家可以英文来讲。事实上，我们以前就这么干过，并且取得了不错的成果。为什么呢？因为大家以后有可能不免要在国际会议上做报告，要和外国人交流，讨论班就是一个很好的练习的机会。
有问题吗？那么今天就从我这里开始，以后我也很可能就参与到你们的讨论班当中来。try to persuade everybody……don’t be shy, just try, OK? Speak as more as possible。反对无效，反对无效，反对无效，好，我说服了所有人。

从一个简单的例子开始

一维例子

让我们从一个简单的例子讲起。让 $\Omega =[0,\pi ]$，我们寻找特征对 $(\lambda ,u),u\ne 0$，使得
$$\begin{array}{rl}-u^{\prime \prime }(x)& =\lambda u(x)\text{ in }\Omega ,\\ u(0)& =u(\pi )=0.\end{array}$$
这个问题具有真解 $\lambda =k^2,u=\sin (kx),k=1,2,3,\cdots$。取 $V=H_0^1(\Omega )$，标准的有限元方法告诉我们，上述问题的弱形式是，寻找 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和非零 $u\in V$，使得，
$${\int }_0^{\pi }{u}^{\prime }(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\lambda {\int }_0^{\pi }u(x)v(x)\mathrm{d}x\forall v\in V$$
它的有限元逼近是，取 $V_h=\mathrm{span}{\phi }_1,\dots ,{\phi }_N\subset V$，那么，我们要求 ${\lambda }_h\in \mathbb{R}$ 和非零 $u_h\in V_h$，使得
$${\int }_0^{\pi }{u}_h^{\prime }(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\lambda }_h{\int }_0^{\pi }{u}_h(x)v(x)\mathrm{d}x\forall v\in V_h$$

它的代数形式是，
$$A\mathrm{x}=\lambda M\mathrm{x}$$
其中的 $A={a_{ij}}_{i,j=1}^N$ 是刚度矩阵，$M={m_{ij}}_{i,j=1}^N$ 是质量矩阵，他们的元素是：
$$a_{ij}={\int }_0^{\pi }{\phi }_j^{\prime }(x){\phi }_i^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$
$$m_{ij}={\int }_0^{\pi }{\phi }_j(x){\phi }_i(x)\mathrm{d}x$$

P1 元逼近

为了方便，我们不妨更具体一些。我们把$[0,\pi ]$ 剖分成 $N+1$ 份，区间长度为 $h=\frac{1}{N+1}$，有限元空间我们用 ${\mathcal{P}}_1$。简单的计算，我们可以得到刚度矩阵和质量矩阵。
$$a_{ij}$$