lattice-algebra开源：抗量子密码学库

Posted 2022-05-09 mutourend

1. 引言

QRL Foundation 和 Geometry Labs合作，发布了以python语言实现的基于lattice的抗量 algebra密码学库。

开源代码见：

• https://github.com/geometry-labs/lattice-algebra（Python）

也可通过Pypi安装：

pip install lattice-algebra

该库将用于QRL protocol中，用于实现一些新的特性，如：

• lattice-based proof-of-stake signature
• trustless cross-chain atomic swaps（如QRL<->BTC、QRL<->ETH等等）
• 类似闪电网络的支付通道等等。

2. lattice-algebra用途

lattice-algebra库可作为大量不同应用的基石，如signature aggregation、zero-knowledge proof等。

lattice-algebra库的目的在于：

• 减少创建lattice密码学原语的障碍
• 使应用开发者可更专注于高层构建，而不需要实现底层algebra。

lattice-algebra库中实现了不同的方案：

• Ring short integer solution
• Module short integer solution
• Ideal short integer solution

可将lattice-algebra库用于：

• 1）实现类似Schnorr的one-time signature方案
• 2）扩展为实现non-interactive aggregatable one-time signatures
• 3）基于lattice的zero-knowledge arguments of knowledge
• 4）m-of-n multisig wallets with aggregatbale signatures
• 5）NIST竞争者的CRYSTALS-Dilithium signature scheme

3. lattice-algebra的数学背景

许多基于lattice的密码学方案中，其原语都构建自ring $R=Z_q[X]/(X^d+1)$的多项式，其中将对prime $q$取模的整数表示为$Z_q$，多项式的degree为$d$，满足$(q-1)\%(2\ast d)=0$。
keys通常为：

• vectors from the vector space $V=R^l$
• 或 matrices with entries from $V=R^{k\ast l}$ for dimensions $k、l$。

如CRYSTALS-Dilithium方案中，设置$q=2^{23}-2^{13}+1，d=256$，并使用$4\times 4、6\times 5、8\times 7$ matrices，具体取决于安全等级。

对于特定的$d,q,l$，认为找到任何足够小的vector（或matrix）$x$，使得$A\ast x=0$是很困难的，其中$A$为suitably random challenge from $V$。基于该hardness假设，由$x\mapsto A\ast x$的map被认为是one-way function。

多项式的infinity-norm是指：

• the absolute maximum coefficient，绝对值最大的系数

多项式的one-norm是指：

• 系数之和的绝对值

多项式的weight是指：

• 非零系数的个数

有one_norm<=infinity_norm * weight。这就意味着bounding the infinity norm and the weight of a polynomial also has the effect of bounding the infinity norm and the one-norm。Taking into account both the infinity norm and the weight of the polynomial (number of non-zero entries) enables tighter inequalities that lead to smaller witnesses. This means we can achieve the same security level with smaller parameters (the CRYSTALS-Dilithium scheme is an exemplary implementation of this technique).

lattice-algebra库中没有限制底层密码学方案所使用的安全假设。Since the library merely handles polynomials from $R$ and vectors from $V=R^l$, schemes based on other hardness assumptions (such as the Ring Learning With Errors assumption) that take place over the same ring can be securely implemented as well.

4. lattice-algebra：为密码学开发者设计

利用lattice-algebra库，开发者可以干净的代码安全地实现基于lattice的密码学协议和应用。
该库：

• 使用了Number Theoretic Transform (NTT)来进行多项式惩罚，time为$O(2d\log (2d))$。
• 使用了constan-time modular arithmetic来避免时序攻击。
• 包含了hashing to 和 sampling from these “suitably small” polynomials and vectors的工具。

以non-interactive aggregatable one-time signatures 签名方案为例：
签名秘钥$sk=(s0,s1)$为uniformly sampled from the subset of $R^l$ with bounded norm。

调用lattice-algebra库的实现可为：

def sign(sk: Tuple[PolynomialVector, PolynomialVector], m: str) -> PolynomialVector:
    c: Polynomial = H_0(m)
    return sk[0] ** c + sk[1]

参考资料

[1] Introducing lattice-algebra: An elegant, high-performance post-quantum cryptography library

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