自己动手实现广义逆矩阵求解（2022.5.4）

Posted 2022-05-06 jing_zhong

动手实现矩阵广义逆求解（2022.5.4）

• 引言
• 1、逆矩阵和广义逆矩阵简介
• • 1.1 逆矩阵
  • 1.2 广义逆矩阵
  • 1.3 广义逆矩阵求解流程
• 2、广义逆矩阵求解代码
• • 2.1 Matlab代码及运行结果
  • • 2.1.1 使用标准函数 pinv
  • 2.2 C#代码及运行结果
  • • 2.2.1 使用MathNet库
    • 2.2.2 自己写
  • 2.3 C++代码及运行结果
  • • 2.3.1 使用Eigen库
    • 2.3.2 自己写
  • 2.4 Java代码及运行结果
  • • 2.4.1 使用ujmp库
    • 2.4.2 自己写
  • 2.5 Python代码及运行结果
  • • 2.5.1 使用numpy库
    • 2.5.2 自己写
  • 2.6 R代码及运行结果
• 3、总结

引言

        在矩阵论和线性代数等理论当中，作为基础部分的逆矩阵和广义逆矩阵都是十分重要的研究分支，广义逆矩阵起源于线性方程组的求解问题，实数域R和复数域C不断扩充矩阵元素范围和线性空间，计算方式的进步不断推动着广义逆的研究进展。这里利用初等行变换法和满秩分解法来分别求解方阵A的逆矩阵与广义逆矩阵，愿为数学爱好者和工程师提供参考和帮助。

1、逆矩阵和广义逆矩阵简介

1.1 逆矩阵

        逆矩阵定义：对于一个n阶方阵A而言，若存在矩阵B，使得$$AB=BA=E（E为单位阵）\text{\hspace{1em}(式1-1)}$$$$A=B^{-1}\text{\hspace{1em}(式1-2)}$$$$B=A^{-1}\text{\hspace{1em}(式1-3)}$$        那么将B称为方阵A的逆矩阵，B也用$A^{-1}$表示，这与倒数的定义有点类似，倒数的定义为乘积为1的两个数互为倒数。n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩，即$$rank(A)=n\text{\hspace{1em}(式1-4)}$$        也称A为满秩矩阵或非奇异矩阵，因此可逆矩阵也称为非奇异矩阵。满秩矩阵都能通过有限次初等行变换 / 列变换化为单位矩阵，因此满秩矩阵A的逆矩阵可表示成有限个初等矩阵的乘积。
        逆矩阵具有如下七个性质：

1. 方阵A与B具有相同的地位，A是B的逆矩阵，B也是A的逆矩阵，二者互为逆矩阵；
2. 零矩阵不可逆，即不存在方阵B，使得$OB=BO=E$；
3. 单位方阵E可逆，且逆矩阵为E^-1，$E=E^{-1}$；
4. 若方阵A存在可逆矩阵，则逆矩阵必唯一；
5. 若方阵A可逆，则其逆矩阵$A^{-1}$也可逆，有${(A^{-1})}^{-1}=A$；
6. 若方阵A可逆，则其转置矩阵$A^T$也可逆，有${(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T$；
7. 若A、B均为n阶可逆方阵，则相乘矩阵AB也可逆，有${(AB)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。

        利用初等行变换或初等列变换都可直接计算逆矩阵，初等行变换就是指下列3种变换：（1）以一个非零的数乘矩阵的某一行；（2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是实数；（3）互换矩阵中两行的位置。任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。而矩阵秩的求解可通过将其变换为阶梯型矩阵后来统计得到。
$$\left(\begin{array}{ccc}& A& E\end{array}\right)\underset{basicrowtransform}{\to }\left(\begin{array}{ccc}& E& A^{-1}\end{array}\right)$$
或者
$$\left(\begin{array}{cc}& A\\ & E\end{array}\right)\underset{basiccoltransform}{\to }\left(\begin{array}{cc}& E\\ & A^{-1}\end{array}\right)$$

1.2 广义逆矩阵

        在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的（即不可逆），因此需要将逆矩阵的概念进一步推广，因而学者们逐渐提出了广义逆矩阵。
        广义逆矩阵定义：设A∈C^mxn，若存在矩阵A⁺∈C^nxm，且A⁺能够同时满足以下4个公式（被称为Penrose-Moore方程），则称A⁺是A的广义逆矩阵，A⁺与A互为广义逆矩阵。（其中，A^H代表A的共轭转置矩阵）
$（1）A{A}^{+}A=A$ $（2）A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$ $（3）{(A{A}^{+})}^H=A{A}^{+}$ $（4）{(A^{+}A)}^H=A^{+}A$
        满秩分解法作为求解广义逆矩阵的一种方法，该方法认为：若A的秩为r，则A能被分解为两个秩为r的矩阵B∈C^mxr和C∈C^rxn，使得
$$A=BC\text{\hspace{1em}(式1-5)}$$        其中B称为列满秩矩阵，C称为行满秩矩阵，H称为拟Hermite标准形，$H\in R^{mxn}$，H的后m-r行上的元素全为零，H存在j₁、j₂、…、j_r列可构成m阶单位阵的前r列。存在可逆矩阵P可将矩阵A化为拟Hermite标准形H，可令前r行为C，$P^{-1}$的前r列为B，后m-r列为S，
P − 1 = ( B , S ) ， B = （ p 1 , p 2 , . . . , p r ） , S = （ p r + 1 , . . . , p m ） P^-1=(B , S)，B=（p_1,p_2,...,p_r）,S=（p_r+1,...,p_m） P−1=(B,S)，B=（p1​,p2​,...,pr​）,S=（pr+1以上是关于自己动手实现广义逆矩阵求解（2022.5.4）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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