拉普拉斯，帮我看看这个怎么回事呢？

Posted 2022-04-30 卓晴

简 介： 如果把硬币在变化磁场中感应涡流过程看成一个线性时不变系统，经过分析可以知道，它在冲激电磁场内应该所累积的冲量为零。 但考虑到电磁能量使得金属表层温度升高，它成为一个时变系统，此时硬币所受到的冲击力的累积量（冲量）就会出现静升力，从而可以将金属币弹开。建立线圈放电拉普拉斯模型，可以得到对应电流变化波形，通过分析计算获得金属币受力波形。

关键词： 信号与系统，拉普拉斯变换，金属硬币

 

§01 冲激磁场

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  今天（2022-04-28）上午在西瓜视频看到短片 电容放电，金属块为何物飞起来了 中演示高压大电容对线圈放电，产生脉冲磁场如何将一枚硬币弹到高空的情况。

▲ 图1.1 铝质硬币被弹射到高空

  根据楞次定律，变化的磁场在金属中产生涡流后，形成磁场作用，推动硬币升空。对于这个现象并不会让人感到奇怪。但出乎我们意料的是：铝质硬币会被电磁脉冲瞬间弹开；而铜质硬币则没有离开电磁线圈。

  这是为啥？

▲ 图1.2 铜制硬币则没有被电磁脉冲弹开

  难道是铜质硬币太重了吗？

  视频制作又更换了一个更大的铝质金属环。 结果随着电磁放电， 更重的铝环被瞬间送上了天空。

▲ 图1.3 更重的铝环被电磁脉冲送上了天空

  那么，这其中的道理是什么呢？

  今天上午刚刚在信号与系统课程中讲完拉普拉斯变换性质， 如果能够利用拉普拉斯变换来分析这其中的原因，会很有趣的。

 

§02 问题分析

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  上述视频中展示的硬币被电磁脉冲弹开，包括两个过程：

• 高压大电容在线圈中放电产生脉冲磁场过程；
• 脉冲磁场在硬币中感应出涡流后产生磁场作用力过程；

  下面分别对于这两个过程进行分析。

2.1 高压电容线圈放电

  本质上，线圈放电过程会同时受到高压电容放电和硬币感应电流的影响。考虑到硬币本身比较小，感应电流反过来影响线圈放电作用比较小。因此， 分析高压电容在线圈上放电就忽略硬币的影响。

2.1.1 参数假设

  视频中没有给出电容、线圈的具体参数，下面只能做初步的假设。

（1）三个高压电容

  三个高压电容，假设他们都是 $1000\mu F$ ， $450V$ 耐压。所以总容量为 $C=3000\mu F$ 。

  根据 Understanding ESR in electrolytic capacitors 叙述，电解电容的等效串联电阻（ESR）随着温度和频率会发生变化。 在这里对于三个高压电容并联后的等效串联电阻假设为 $R_{C-ESR}=0.5\Omega$ 。

▲ 图2.1.1 电路中的各个元器件

（2）放电线圈

  用户放电的线圈是一个螺旋线圈，根据桌面蓝色坐标方格比对，它的直径大约为12格子宽度， 现在假设它的直径为 $D_{Spiral}=12cm$ 。

  去线圈图像中间部分的图片，进行垂直投影，取亮度的变化。如下图所示。 这些变化显示了由于线圈形成的周期波动。

▲ 图2.1.2 线圈以及线圈的匝数

  对亮度曲线进行 FFT 变换，获得对应的频谱，如下图所示。 可以看到其中在 $N=50$ 的地方形成了峰值。 因此，对应线圈变化空间频率为50Hz。（注意：1Hz对应整个图像宽度）。考虑到获取图像两个边缘各自还有大约两个线径宽度的空白，所以图中的线圈条数为 $50-2\times 2=46$ 。因此线圈匝数为 $N_{coil}=46/2=23$ 匝。

▲ 亮度曲线对应的FFT变换

from headm import *
import cv2

imgid = 10

imgfile = tspgetdopfile(imgid)

img = cv2.imread(imgfile)
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
avg = mean(gray, 0)

printf(len(avg))
fftavg = abs(fft.fft(avg-mean(avg)))

printf(avg)
plt.plot(fftavg)

plt.xlabel("n")
plt.ylabel("gray")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

  根据上面参数，确定螺旋线圈几何参数如下。 根据 Spiral Coil Calculator 网页提供的计算工具，可以得到：

• 线圈电感： $L_{coil}=35.79\mu H$
• 线圈长度：7.8米
• 线圈自身谐振频率： $f_{coil}=29.74kHz$

▲ 图2.1.4 线圈空间参数

  由于线圈匝数不多，而且线径比较粗，所以先忽略放电线圈中的等效串联电阻。

2.1.2 电容放电

  视频中，电容充电是对220V交流电整流充电。 假设电容充电电压 $V_C\left(0_{-}\right)=310V$ 。那么电容在线圈放电回路如下图所示：

▲ 图2.1.5 线圈放电等效电路

  根据图中的参数，可以知道放电电流为： $$I\left(s\right)=\frac{V_C\left(0_{-1}\right)}{s\left(R_{C-ESR}+s{L}_{coil}+\frac{1}{Cs}\right)}=\frac{V_C\left(0_{-}\right)\cdot C}{s^{2}C{L}_{coil}+sC{R}_{C-ESR}+1}$$

  根据已知参数：
$V_C\left(0_{-}\right)=310V$ ， $C=3000\times 10^{-6}F$ ， $R_{C-ESR}=0.5\Omega$ ， $L_{coil}$