Bailian3253 集合的划分递归

Posted 2022-04-30 海岛Blog

3253:集合的划分

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描述
把一个集A(本题中的集合均不含重复元素)分成若干个非空子集，使得A中每个元素属于且仅属于一个子集，那么这些子集构成的集合称为A的一个划分。比如A=1，2，3，那么 1，2 ，3 以及 1，2，3 都是A的划分。现在给定一个整数n，我们希望知道包含n个元素的集合有多少不同的划分。当n=3的时候，仍然考虑集合1，2，3，它的所有划分如下
1 ， 2 ， 3
1 ， 2 ， 3
1 ， 3 ， 2
1 ， 2 ， 3
1 ， 2 ， 3
只有5种，但随n的增加，划分方法的个数会以指数速度增加。比如n=4的时候，就有15种方法，考虑集合1，2，3，4，划分方式如下
1，2，3，4
1，2，3，4
1，2，3，4
1，3，2，4
1，4，2，3
1，2，3，4
1，3，2，4
1，2，3，4
1，3，2，4
1，4，2，3
1，2，3，4
2，1，3，4
3，1，2，4
4，1，2，3
1，2，3，4
当n>15的时候，划分方法数将超过32位整数所能表示的范围，我们希望你的程序能计算出n<=15的时候，包含n个元素的集合的划分方法的个数
输入
一个整数n（0<=n<=15，n=0的时候认为有一种划分方法）
输出
包含n个不同元素的集合的划分方法的个数
样例输入
3
15
样例输出
5
1382958545
提示
递归公式,
设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
F(n,m) = 1, where n=0, n=m, n=1, or m=1
F(n,m) = 0, where n<m
否则
F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

例如:
考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：1，2，3
② 2个子集的集合：1，2，3，1，3，2，2，3，1
③ 3个子集的集合：1，2，3
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

如果要求F(4,2)该怎么办呢？

A.往①里添一个元素4，得到1，2，3，4

B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
1，2，4，3，1，2，3，4，
1，3，4，2，1，3，2，4，
2，3，4，1，2，3，1，4

∴F(4,2)=F(3,1)+2F(3,2)＝1+23＝7
来源
cs10107 C++ Final Exam

问题链接：Bailian3253 集合的划分
问题简述：（略）
问题分析：递归组合问题，用递归函数来解决。如果需要加速，可以使用记忆化递归来实现。
程序说明：（略）
参考链接：（略）
题记：（略）

AC的C++语言程序如下：

/* Bailian3253 集合的划分 */

#include <stdio.h>

long long fun(int n,int m)

    if (n < m) return 0;
    else if (n == 0 || n == m || n == 1 || m == 1) return 1;
    else return fun(n - 1, m - 1) + m * fun(n - 1, m);


int main()

    int n;
    while (scanf("%d", &n)!=EOF) 
        long long ans = 0;
        if (n == 0)
            ans = 1;
        else
            for (int i = 1; i <= n; i++)
                ans += fun(n, i);

        printf("%lld\\n",ans);
    
    return 0;