算法 -- 数据结构和算法的关系算法定义和特性算法设计的要求算法效率的度量方法函数的渐近增长算法时间复杂度 算法空间复杂度

Posted 2022-04-29 CodeJiao

文章目录

• 1. 算法
• • 1.1 数据结构与算法关系
  • 1.2 两种算法的比较
  • 1.3 算法定义
  • 1.4 算法的特性
  • • 1.4.1 输入输出
    • 1.4.2 有穷性
    • 1.4.3 确定性
    • 1.4.4 可行性
  • 1.5 算法设计的要求
  • • 1.5.1 正确性
    • 1.5.2 可读性
    • 1.5.3 健壮性
    • 1.5.4 时间效率高和存储量低
  • 1.6 算法效率的度量方法
  • • 1.6.1 事后统计方法（不推荐）
    • 1.6.2 事前分析估算方法（推荐）
  • 1.7 函数的渐近增长
  • 1.8 算法时间复杂度
  • • 1.8.1 算法时间复杂度定义
    • 1.8.2 推导大O阶方法
    • 1.8.3 常数阶
    • 1.8.4 线性阶
    • 1.8.5 对数阶
    • 1.8.6 平方阶
  • 1.9 常见的时间复杂度
  • 1.10 最坏情况与平均情况
  • 1.11 算法空间复杂度

1. 算法

概念：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

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1.1 数据结构与算法关系

程序 = 数据结构 + 算法。

数据结构是数据间的有机关系，算法是对数据的操作步骤。没有数据间的有机关系，程序根本无法设计。因为有了数据结构，算法才能诞生。反之，算法又是数据结构得以维持的一个条件，没有算法数据根本无法有规律的打交道，数据之间只会是杂乱无章地碰撞，而数据结构则会消灭。算法是绝对运动的，数据结构是相对静止的，二者是不可分割的关系；

你可以把数据结构和算法理解为 罗密欧 与 朱丽叶的关系。

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1.2 两种算法的比较

要求你写一个求1+2+3+……+100结果的程序，你应该怎么写呢？

大多数人会马上写出下面的C语言代码（或者其他语言的代码）：

也可以这样写（高斯算法：等差数列的求和公式）：

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1.3 算法定义

定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

实世界中的问题千奇百怪，算法当然也就千变万化，没有通用的算法可以解决所有的问题。甚至解决一个小问题，很优秀的算法却不一定适合它。

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1.4 算法的特性

法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

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1.4.1 输入输出

• 算法具有零个或多个输入。尽管对于绝大多数算法来说，输入参数都是必要的，但对于个别情况，如打印 hello world 这样的代码，不需要任何输入参数，因此算法的输入可以是零个。
• 算法至少有一个或多个输出，算法是一定需要输出的，不需要输出，你用这个算法干吗？输出的形式可以是打印输出，也可以是返回一个或多个值等。

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1.4.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

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1.4.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

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1.4.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

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1.5 算法设计的要求

算法不是唯一的。也就是说，同一个问题，可以有多种解决问题的算法。尽管算法不唯一，相对好的算法是存在的。掌握好的算法，对我们解决问题很有帮助，否则前人的智慧我们不能利用，就都得自己从头研究了。那么什么才叫好的算法呢？好的算法应该满足下面几个特性。

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1.5.1 正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

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1.5.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

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1.5.3 健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

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1.5.4 时间效率高和存储量低

时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

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1.6 算法效率的度量方法

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1.6.1 事后统计方法（不推荐）

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

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1.6.2 事前分析估算方法（推荐）

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

我们来看看刚刚举的例子，两种求和的算法：

• 第一种算法：
  

• 第二种算法：
  

显然，第一种算法，执行了1+（n+1）+n+1次=2n+3次；而第二种算法，是1+1+1=3次。事实上两个算法的第一条和最后一条语句是一样的，所以我们关注的代码其实是中间的那部分，我们把循环看作一个整体，忽略头尾循环判断的开销，那么这两个算法其实就是n次与1次的差距。算法好坏显而易见。

我们再来延伸一下上面这个例子：

这个例子中，i从1到100，每次都要让j循环100次，而当中的x++和sum = sum +x；其实就是1+2+3+…+10000，也就是1002次，所以这个算法当中，循环部分的代码整体需要执行n²（忽略循环体头尾的开销）次。显然这个算法的执行次数对于同样的输入规模n = 100，要多于前面两种算法，这个算法的执行时间随着n的增加也将远远多于前面两个。

此时你会看到，测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数。运行时间与这个计数成正比。

可以从问题描述中得到启示，同样问题的输入规模是n，求和算法的第一种，求1+2+…+n需要一段代码运行n次。那么这个问题的输入规模使得操作数量是f（n）= n，显然运行100次的同一段代码规模是运算10次的10倍。而第二种，无论n为多少，运行次数都为1，即f（n）= 1；第三种，运算100次是运算10次的100倍。因为它是f（n）= n²。

我们在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量与输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数:

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1.7 函数的渐近增长

函数的渐近增长的特点：

• 我们可以忽略加法常数
• 与最高次项相乘的常数并不重要。
• 最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

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1.8 算法时间复杂度

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1.8.1 算法时间复杂度定义

这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n²)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n²)叫平方阶

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1.8.2 推导大O阶方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数（最高阶系数为1）。

得到的结果就是大O阶。

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1.8.3 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法（高斯算法），为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

这个算法的运行次数函数是f（n）=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

注意：

• 不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。
• 对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

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1.8.4 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

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1.8.5 对数阶

对于下面的代码：

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1.8.6 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

上面这段代码调用一个函数function。

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是下面这样的：

事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n²)。

下面这段相对复杂的语句：

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1.9 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度如下表所示。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

像O(n³)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论它。

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1.10 最坏情况与平均情况

查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。而平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。 可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。

一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

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1.11 算法空间复杂度

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组（年数略比现实多一点），然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为O(1)。

通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。

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