区块链与密码学第6-4讲：椭圆曲线的数字签名算法

Posted 2022-04-27 Dig Quant

【本课堂内容全部选编自PlatON首席密码学家、武汉大学国家网络安全学院教授、博士生导师何德彪教授的《区块链与密码学》授课讲义、教材及互联网，版权归属其原作者所有，如有侵权请立即与我们联系，我们将及时处理。】

6.4 椭圆曲线简介

椭圆曲线的定义

1985年，Koblitz和Miller独立地提出了椭圆曲线公钥密码体制(ECC)，安全性基于椭圆曲线群上的离散对数问题的难解性，该问题目前最好的解法是指数级时间的算法。

一般认为，RSA和DH密钥交换协议需用1024比特以上的模数才安全，但对ECC，只要160比特的模数就可达到同样级别的安全性。

椭圆曲线指的是由Weierstrass方程

所确定的曲线

椭圆曲线图形

有限域Fp上的椭圆曲线是由满足Fp上的方程  

的所有点和无穷远点O构成的集合

有时也记作E。

椭圆曲线上的加法运算

设P，Q是E上的任意两点，连接P，Q交E于R’，则称R’关于x轴的对称点R为P与Q的和，记为：

P + Q = R

椭圆曲线加法运算示意图

当P与Q重合时

R = P+Q = P+P = 2P

此时称之为点倍运算

椭圆曲线点倍运算示意图

当P与Q关于x轴对称时,

定义P与Q的和为O，即：

P + Q = O

并称O为无穷远点

椭圆曲线无穷远点示意图

可以证明，有限域上的椭圆曲线在我们定义的加法运算下构成群。

既然构成群，就必然有零元和负元，这里的零元就为无穷远点O，P的负元就是它关于x轴的对称点，记为–P。

显然有

P+O =O+P=P

若P=(x, y)，则 –P=(x, –y) 且 P+(–P)=O

加法运算的代数表示

已知E(F)上两点P=(x1, y1), Q=(x2, y2), 求P+Q。

解：设P+Q=R =(x3, y3),

解得

椭圆曲线点加运算代数表示

当P≠Q时，

当P=Q时，

椭圆曲线点加运算代数表示

k(k>2)个相同的点P相加为

此时称之为点乘运算

椭圆曲线点乘运算示意图

椭圆曲线离散对数问题

设

称n为点P的阶，记为n=ord(P)。

由阶为n的点P在上述加法定义下生成的循环群<P>是椭圆曲线群(E(F), +)的一个n阶子群。

设E是有限域F上的椭圆曲线，G是E的一个循环子群，点P是G的一个生成元，即G=kP: k≥1，在已知P，Q的条件下，求解整数n，使得nP=Q的问题，称为椭圆曲线E上的离散对数问题。

今天的课程就到这里啦，下一堂课我们将学习基于椭圆曲线的数字签名算法中的SM2算法，带大家继续了解数字签名，敬请期待！

-- 完 --

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