关联分析之Apriori算法

Posted 2022-04-20 rongyongfeikai2

1.数据挖掘与关联分析

数据挖掘是一个比较庞大的领域，它包括数据预处理（清洗去噪）、数据仓库、分类聚类、关联分析等。关联分析可以算是数据挖掘最贴近我们生活的一部分了，打开卓越亚马逊，当挑选一本《android4高级编程》时，它会不失时机的列出你可能还会感兴趣的书籍，比如Android游戏开发、Cocos2d-x引擎等，让你的购物车又丰富了些，而钱包又空了些。

关联分析，即从一个数据集中发现项之间的隐藏关系。本篇文章Apriori算法主要是基于频繁集的关联分析，所以本文中所出现的关联分析默认都是指基于频繁集的关联分析。

有了一个感性的认识，我们来一段理性的形式化描述：

令项集I=i1,i2,...in

且有一个数据集合D，它其中的每一条记录T，都是I的子集

那么关联规则都是形如A->B的表达式，A、B均为I的子集，且A与B的交集为空

这条关联规则的支持度：support = P(A并B)

这条关联规则的置信度：confidence = support(A并B）/suport(A)

如果存在一条关联规则，它的支持度和置信度都大于预先定义好的最小支持度与置信度，我们就称它为强关联规则。强关联规则就可以用来了解项之间的隐藏关系。所以关联分析的主要目的就是为了寻找强关联规则，而Apriori算法则主要用来帮助寻找强关联规则。

注意：因为频率=事件出现次数/总事件次数，为了方便，我们在以下都用事件出现的频数而非频率来作为支持度。

2.Apriori算法描述

Apriori算法指导我们，如果要发现强关联规则，就必须先找到频繁集。所谓频繁集，即支持度大于最小支持度的项集。如何得到数据集合D中的所有频繁集呢？

有一个非常土的办法，就是对于数据集D，遍历它的每一条记录T，得到T的所有子集，然后计算每一个子集的支持度，最后的结果再与最小支持度比较。且不论这个数据集D中有多少条记录（十万？百万？），就说每一条记录T的子集个数（1,2,3的子集有1，2，3，1,2，2,3，1,3，1,2,3，即如果记录T中含有n项，那么它的子集个数是2^n-1）。计算量非常巨大，自然是不可取的。

所以Aprior算法提出了一个逐层搜索的方法，如何逐层搜索呢？包含两个步骤：

1.自连接获取候选集。第一轮的候选集就是数据集D中的项，而其他轮次的候选集则是由前一轮次频繁集自连接得到（频繁集由候选集剪枝得到）。

2.对于候选集进行剪枝。如何剪枝呢？候选集的每一条记录T，如果它的支持度小于最小支持度，那么就会被剪掉；此外，如果一条记录T，它的子集有不是频繁集的，也会被剪掉。

算法的终止条件是，如果自连接得到的已经不再是频繁集，那么取最后一次得到的频繁集作为结果。

需要值得注意的是：

Apriori算法为了进一步缩小需要计算支持度的候选集大小，减小计算量，所以在取得候选集时就进行了它的子集是否有非频繁集的判断。（参见《数据挖掘：概念与技术》一书）。

另外，两个K项集进行连接的条件是，它们至少有K-1项相同。

知道了这些可以方便我们写出高效的程序。

3.Apriori算法例子推导

上面的描述是不是有点抽象，例子是最能帮助理解的良方。（假设最小支持度为2，最小置信度为0.6，最小支持度和置信度都是人定的，可以根据实验结果的优劣对这两个参数进行调整）

假设初始的数据集D如下：

  

  那么第一轮候选集和剪枝的结果为：

 

可以看到，第一轮时，其实就是用的数据集中的项。而因为最小支持度是2的缘故，所以没有被剪枝的，所以得到的频繁集就与候选集相同。

第二轮的候选集与剪枝结果为：

  

可以看到，第二轮的候选集就是第一轮的频繁集自连接得到的（进行了去重），然后根据数据集D计算得到支持度，与最小支持度比较，过滤了一些记录。频繁集已经与候选集不同了。

第三轮候选集与频繁集结果为：

 

可以看到，第三轮的候选集发生了明显的缩小，这是为什么呢？

请注意取候选集的两个条件：

1.两个K项集能够连接的两个条件是，它们有K-1项是相同的。所以，（I2，I4）和（I3，I5）这种是不能够进行连接的。缩小了候选集。

2.如果一个项集是频繁集，那么它不存在不是子集的频繁集。比如（I1，I2）和（I1，I4）得到（I1，I2，I4），而（I1，I2，I4）存在子集（I1，I4）不是频繁集。缩小了候选集。

第三轮得到的2个候选集，正好支持度等于最小支持度。所以，都算入频繁集。

这时再看第四轮的候选集与频繁集结果：

可以看到，候选集和频繁集居然为空了！因为通过第三轮得到的频繁集自连接得到I1，I2，I3，I5，它拥有子集I2,I3,I5，而I2,I3,I5不是频繁集，不满足：频繁集的子集也是频繁集这一条件，所以被剪枝剪掉了。所以整个算法终止，取最后一次计算得到的频繁集作为最终的频繁集结果：

也就是：['I1,I2,I3', 'I1,I2,I5']

那么，如何得到强规则呢？

比如对于：I1，I2，I3这个频繁集，我们可以得到它的子集：I1,I2,I3,I1，I2,I1，I3,I2，I3，那么可以得到的规则如下：

I1->I3^I2 0.333333333333
I2->I1^I3 0.285714285714
I3->I1^I2 0.333333333333
I1^I2->I3 0.5
I1^I3->I2 0.5
I2^I3->I1 0.5
左边是规则，右边是置信度。conf(I1->I3^I2) = support(I1,I2,I3)/support(I1)

与最小置信度相比较，我们就可以得到强规则了。

所以对于频繁集['I1,I2,I3', 'I1,I2,I5']

我们得到的规则为：

I1->I3^I2 0.333333333333
I2->I1^I3 0.285714285714
I3->I1^I2 0.333333333333
I1^I2->I3 0.5
I1^I3->I2 0.5
I2^I3->I1 0.5
I1->I2^I5 0.333333333333
I2->I1^I5 0.285714285714
I5->I1^I2 1.0
I1^I2->I5 0.5

I1^I5->I2 1.0
 I2^I5->I1 1.0

从而得到强规则为：

I5->I1^I2 : 1.0
I1^I5->I2 : 1.0
I2^I5->I1 : 1.0

意味着如果用户买了商品I5，则极有可能买商品I1，I2;买了I1和I5，则极有可能买I2，如果买了I2，I5，则极有可能买I1。所以，你就知道在页面上该如何推荐了。

4.Apriori算法源码及输出

为了加强对于Apriori算法的了解，我用python写了个简单的程序（时间仓促，没有考虑时间空间复杂度，也没有非常严谨的测试正确性），希望以后能对此程序进行修改和优化。

算法源码如下：

#coding:utf-8
samples = [
    ["I1","I2","I5"],
    ["I2","I4"],
    ["I2","I3"],
    ["I1","I2","I4"],
    ["I1","I3"],
    ["I2","I3"],
    ["I1","I3"],
    ["I1","I2","I3","I5"],
    ["I1","I2","I3"]
]
min_support = 2
min_confidence = 0.6
fre_list = list()
def get_c1():
    global record_list
    global record_dict
    new_dict = dict()
    for row in samples:
        for item in row:
            if item not in fre_list:
                fre_list.append(item)
                new_dict[item] = 1
            else:
                new_dict[item] = new_dict[item] + 1
    fre_list.sort()
    print "candidate set:"
    print_dict(new_dict)
    for key in fre_list:
        if new_dict[key] < min_support:
            del new_dict[key]
    print "after pruning:"
    print_dict(new_dict)
    record_list = fre_list
    record_dict = record_dict
def get_candidateset():
    new_list = list()
    #自连接
    for i in range(0,len(fre_list)):
        for j in range(0,len(fre_list)):
            if i == j:
                continue
            #如果两个k项集可以自连接，必须保证它们有k-1项是相同的
            if has_samesubitem(fre_list[i],fre_list[j]):
                curitem = fre_list[i] + ',' + fre_list[j]
                curitem = curitem.split(",")
                curitem = list(set(curitem))
                curitem.sort()
                curitem = ','.join(curitem)
                #如果一个k项集要成为候选集，必须保证它的所有子集都是频繁的
                if has_infresubset(curitem) == False and already_constains(curitem,new_list) == False:
                    new_list.append(curitem)
    new_list.sort()
    return new_list
def has_samesubitem(str1,str2):
    str1s = str1.split(",")
    str2s = str2.split(",")
    if len(str1s) != len(str2s):
        return False
    nums = 0
    for items in str1s:
        if items in str2s:
            nums += 1
            str2s.remove(items)
    if nums == len(str1s) - 1:
        return True
    else:
        return False
def judge(candidatelist):
    # 计算候选集的支持度
    new_dict = dict()
    for item in candidatelist:
        new_dict[item] = get_support(item)
    print "candidate set:"
    print_dict(new_dict)
    #剪枝
    #频繁集的支持度要大于最小支持度
    new_list = list()
    for item in candidatelist:
        if new_dict[item] < min_support:
            del new_dict[item]
            continue
        else:
            new_list.append(item)
    global fre_list
    fre_list = new_list
    print "after pruning:"
    print_dict(new_dict)
    return new_dict
def has_infresubset(item):
    # 由于是逐层搜索的，所以对于Ck候选集只需要判断它的k-1子集是否包含非频繁集即可
    subset_list = get_subset(item.split(","))
    for item_list in subset_list:
        if already_constains(item_list,fre_list) == False:
            return True
    return False
def get_support(item,splitetag=True):
    if splitetag:
        items = item.split(",")
    else:
        items = item.split("^")
    support = 0
    for row in samples:
        tag = True
        for curitem in items:
            if curitem not in row:
                tag = False
                continue
        if tag:
            support += 1
    return support
def get_fullpermutation(arr):
    if len(arr) == 1:
        return [arr]
    else:
        newlist = list()
        for i in range(0,len(arr)):
            sublist = get_fullpermutation(arr[0:i]+arr[i+1:len(arr)])
            for item in sublist:
                curlist = list()
                curlist.append(arr[i])
                curlist.extend(item)
                newlist.append(curlist)
        return newlist
def get_subset(arr):
    newlist = list()
    for i in range(0,len(arr)):
        arr1 = arr[0:i]+arr[i+1:len(arr)]
        newlist1 = get_fullpermutation(arr1)
        for newlist_item in newlist1:
            newlist.append(newlist_item)
    newlist.sort()
    newlist = remove_dumplicate(newlist)
    return newlist
def remove_dumplicate(arr):
    newlist = list()
    for i in range(0,len(arr)):
        if already_constains(arr[i],newlist) == False:
            newlist.append(arr[i])
    return newlist
def already_constains(item,curlist):
    import types
    items = list()
    if type(item) is types.StringType:
        items = item.split(",")
    else:
        items = item
    for i in range(0,len(curlist)):
        curitems = list()
        if type(curlist[i]) is types.StringType:
            curitems = curlist[i].split(",")
        else:
            curitems = curlist[i]
        if len(set(items)) == len(curitems) and len(list(set(items).difference(set(curitems)))) == 0:
            return True
    return False
def print_dict(curdict):
    keys = curdict.keys()
    keys.sort()
    for curkey in keys:
        print "%s:%s"%(curkey,curdict[curkey])
# 计算关联规则的方法
def get_all_subset(arr):
    rtn = list()
    while True:
        subset_list = get_subset(arr)
        stop = False
        for subset_item_list in subset_list:
            if len(subset_item_list) == 1:
                stop = True
            rtn.append(subset_item_list)
        if stop:
            break
    return rtn
def get_all_subset(s):
    from itertools import combinations
    return sum(map(lambda r: list(combinations(s, r)), range(1, len(s)+1)), [])
def cal_associative_rule(frelist):
    rule_list = list()
    rule_dict = dict()
    for fre_item in frelist:
        fre_items = fre_item.split(",")
        subitem_list = get_all_subset(fre_items)
        for subitem in subitem_list:
            # 忽略为为自身的子集
            if len(subitem) == len(fre_items):
                continue
            else:
                difference = set(fre_items).difference(subitem)
                rule_list.append("^".join(subitem)+"->"+"^".join(difference))
    print "The rule is:"
    for rule in rule_list:
        conf = cal_rule_confidency(rule)
        print rule,conf
        if conf >= min_confidence:
            rule_dict[rule] = conf
    print "The associative rule is:"
    for key in rule_list:
        if key in rule_dict.keys():
            print key,":",rule_dict[key]
def cal_rule_confidency(rule):
    rules = rule.split("->")
    support1 = get_support("^".join(rules),False)
    support2 = get_support(rules[0],False)
    if support2 == 0:
        return 0
    rule_confidency = float(support1)/float(support2)
    return rule_confidency
if __name__ == '__main__':
    record_list = list()
    record_dict = dict()
    get_c1()
    # 不断进行自连接和剪枝，直到得到最终的频繁集为止;终止条件是，如果自连接得到的已经不再是频繁集
    # 那么取最后一次得到的频繁集作为结果
    while True:
        record_list = fre_list
        new_list = get_candidateset()
        judge_dict = judge(new_list)
        if len(judge_dict) == 0:
            break
        else:
            record_dict = judge_dict
    print "The final frequency set is:"
    print record_list
    
    # 根据频繁集计算关联规则
    cal_associative_rule(record_list)

算法的输出如下：

candidate set:
I1:6
I2:7
I3:6
I4:2
I5:2
after pruning:
I1:6
I2:7
I3:6
I4:2
I5:2
candidate set:
I1,I2:4
I1,I3:4
I1,I4:1
I1,I5:2
I2,I3:4
I2,I4:2
I2,I5:2
I3,I4:0
I3,I5:1
I4,I5:0
after pruning:
I1,I2:4
I1,I3:4
I1,I5:2
I2,I3:4
I2,I4:2
I2,I5:2
candidate set:
I1,I2,I3:2
I1,I2,I5:2
after pruning:
I1,I2,I3:2
I1,I2,I5:2
candidate set:
after pruning:
The final frequency set is:
['I1,I2,I3', 'I1,I2,I5']
The rule is:
I1->I3^I2 0.333333333333
I2->I1^I3 0.285714285714
I3->I1^I2 0.333333333333
I1^I2->I3 0.5
I1^I3->I2 0.5
I2^I3->I1 0.5
I1->I2^I5 0.333333333333
I2->I1^I5 0.285714285714
I5->I1^I2 1.0
I1^I2->I5 0.5
I1^I5->I2 1.0
I2^I5->I1 1.0
The associative rule is:
I5->I1^I2 : 1.0
I1^I5->I2 : 1.0
I2^I5->I1 : 1.0