matlab 线性规划 单纯形法

Posted 2022-04-20 白水baishui

先来介绍一下单纯形法，下面解释是从国科大算法最优化课程林姝老师的课件中截取的。

接下来写代码，单纯形法函数：

%% SimplexMax.m
function [x, c, z, pt, ind_B, ind_N] = SimplexMax(c, A, b, ind_B, iter_tag)
% 单纯形法求解标准形线性规划问题: max cx s.t. Ax=b x>=0
% 输入参数: c为目标函数系数, A为等式约束方程组系数矩阵, b为等式约束方程组常数项, ind_B为松弛变量索引
% 输出参数: 
% x: 最优解, x中前len(ind_b)个是x_b, 后面的是x_N; 
% c: 最优系数, c中从前往后分别是x1的系数、x2的系数、x3的系数......; 
% z: 最优目标函数值 z_0；
% ST存储单纯形表数据；
% res_case=0表示有最优解，res_case=1表示有无界解

    [m,n] = size(A);              %m约束条件个数, n决策变量数
    ind_N = setdiff(1:n, ind_B);  %非松弛变量的索引
    ST = [];
    format rat
    step_iter = 0;
    % 循环求解
    while true
        x0 = zeros(n,1);
        x0(ind_B) = b;               %初始基可行解
        cB = c(ind_B);               %计算cB
        Sigma = zeros(1,n);
        Sigma(ind_N) = c(ind_N) - cB*A(:,ind_N);   % 计算检验数
        [~, k] = max(Sigma);         % 选出最大检验数, 确定松弛变量索引k
        Theta = b ./ A(:,k);         % 计算θ
        Theta(Theta<=0) = 10000;
        [~, q] = min(Theta);         % 选出最小θ
        el = ind_B(q);               % 确定出松弛变量索引el, 主元为A(q,k)
        vals = [cB', ind_B', b, A, Theta];
        vals = [vals; NaN, NaN, NaN, Sigma, NaN];
        ST = [ST; vals];
        if ~any(Sigma > 0)           %此基可行解为最优解, any存在某个>0      
            disp('当前基可行解为最优解');
            x = x0;
            z = c * x;
            pt = Sigma(ind_N);
            res_case = 0;
            return
        else
            disp('当前基可行解不为最优解');
            x = x0;
            z = c * x;
            pt = Sigma(ind_N);
            res_case = 0;
        end %  if ~any(Sigma > 0) 
        
        if all(A(:,k) <= 0)          %有无界解
            disp('有无界解');
            x = [];
            res_case = 1;
            break
        end % if all(A(:,k) <= 0) 

        step_iter = step_iter + 1;
        if step_iter == iter_tag
           break
        end % if step_iter
        
        % 换基
        ind_B(ind_B == el) = k;      % 新的松弛变量索引
        ind_N = setdiff(1:n, ind_B); % 自变量索引
        % 更新A和b
        A(:,ind_N) = A(:,ind_B) \\ A(:,ind_N);
        b = A(:,ind_B) \\ b;
        A(:,ind_B) = eye(m,m);
    end
end % function [x, c, z,ST,res_case] = SimplexMax(c,A,b,ind_B)

输入函数，调用单纯形法，然后输出：

%% 单纯形法求线性规划
A = [4 1 1 0; -1 1 0 1]; % 等式约束方程组（包括自变量与松弛变量）系数矩阵
b = [16; 6]; % 等式约束方程组常数项（等号右边的部分）
c = [2 3 0 0]; % 目标函数的系数项（包括自变量与松弛变量）
ind_B = [3 4]; % 松弛变量的变量索引，一般松弛变量设置地自变量更大，并紧截止自变量定义
iter_tag = 3; % 迭代次数 从1开始，n表示单纯形法运算了几轮

% SimplexMax求的是max，输出改为min的输出就行了
[x, c, z, pt, ind_B, ind_N] = SimplexMax(c, A, b, ind_B, iter_tag);

%% 求min时把c、z、pt转负数
c = -c;
z = -z;
for i=1:length(pt)
    pt(i)=-pt(i);
end

%% 输出
disp('B=');
disp(A(:,ind_B));
disp('N=');
disp(A(:,ind_N));

disp('x_B=');
disp(x(ind_B));
disp('x_B的x索引=');
disp(ind_B);

disp('x_N=');
disp(x(ind_N));
disp('x_N的x索引=');
disp(ind_N);

disp('c_B的转置=');
disp(c(ind_B));
disp('c_N的转置=');
disp(c(ind_N));

disp('z_0=');
disp(z);
disp('p的转置 pT=');
disp(pt);

输出示例：

当前基可行解不为最优解
当前基可行解不为最优解
当前基可行解为最优解
B=
       4              1       
      -1              1       

N=
       1              0       
       0              1       

x_B=
       2       
       8       

x_B的x索引=
       1              2       

x_N=
       0       
       0       

x_N的x索引=
       3              4       

c_B的转置=
      -2             -3       

c_N的转置=
       0              0       

z_0=
     -28       

p的转置 pT=
       1              2      

注意出现了三行文字：

当前基可行解不为最优解
当前基可行解不为最优解
当前基可行解为最优解

这个意思是说，前两次迭代都不是最优解，可以通过控制iter_tag 来设定最大迭代次数，最后一次是最优解。