容斥定理背包问题P1450 [HAOI2008]硬币购物

Posted 2022-04-19 行码棋

题目链接:
https://www.luogu.com.cn/problem/P1450

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乍一看是多重背包的题目，没错就是多重背包，但是复杂度呢？ $O(10^5\ast 10^5\ast 1000)$太大，必然超时

本题主要使用容斥

不明白容斥的话可以先去学一下容斥的思想及原理

用没有条件限制（物品数量限制）的答案数减去不满足限制（选择的物品数量超过了题目中的限制）的答案数就是要求（题目限制物品数量）的答案数

$f[j]$代表没有题目中的物品数量限制后的答案情况数（用完全背包去求）

本题使用枚举子集的技巧，本题可以用枚举$1-15$来代替

枚举子集的技巧可以先去百度学一下

for(int i = s; i ; i = (i - 1) & s)
// i代表二进制表示的就是子集

不满足限制的就是取数量大于$d[i]$的，本题取$d[i]+1$就是不满足限制，情况数就为$f[s-(d[i]+1)\ast c[i]]$

物品号未id不满足数量限制的话，它对应的不满足限制的情况数就为$f[s-(d[id]+1)\ast c[id]]$

容斥操作就是，总情况数 减去单个不满足限制的，加上两两之间不满足限制的，减去三个三个之间不满足限制的…(求集合并的运算)

如何区分不满足限制的物品数量呢？下面代码中x为1代表的数量为奇数，为0的话代表的数量为偶数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 5;

ll f[N];
ll c[5], d[5], s;

int main()

	for(int i = 1; i <= 4; i++)
		cin >> c[i];

	f[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 4; i++)
		for(int j = c[i]; j < N; j++)
			f[j] += f[j - c[i]];

	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	
		cin >> d[1] >> d[2] >> d[3] >> d[4] >> s;
		ll res = f[s];
		int ss = 15;
		for(int i = ss; i ; i = (i - 1) & ss)
		
			ll x = 0, tmp = 0;
			for(int j = 0 ; j < 4; j++)
			
				if(i >> j & 1) 
					x ^= 1, tmp += c[j + 1] * (d[j + 1] + 1);
			
			if(s >= tmp)
				res = x ? res - f[s - tmp] : res + f[s - tmp];
		
		cout << res << "\\n";
	
	return 0;