40年前的数学猜想，牛津小哥：我只研究了几个礼拜

Posted 2022-03-22 人工智能博士

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转载于 ：量子位

只是完成一次普通家庭作业，就把困扰了数学家们几十年的猜想搞出了新花样？！

没错，这是来自牛津大学的Thomas Bloom的亲身经历。

在一次阅读小组的论文分享上，他被要求解读一篇2003年发表在《数学年刊》上的经典论文。

这篇论文证明了一个与“最古老数学问题”埃及分数有关的猜想。

简单来说，猜想认为：将大于1的整数任意分成有限个子集，必然有一个子集中的部分整数倒数加起来为1，例如只要有一个子集中有2、3、6，就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

这一猜想被命名为Erdős-Graham猜想。

然而，这版2003年的证明还有很多待解决的疑惑：

Thomas Bloom在解读论文的过程中，也发现这版证明对子集的要求有点高，很多特殊情况下没办法成立。

再仔细一看，他突然发现，这版证明还存在着可以继续改善的地方！

于是借着这次交作业的机会，Thomas Bloom在这篇论文的基础上提出了一种“强化版”证明思路，整个过程甚至只用了几周时间。

就连数论领域著名学者、蒙特利尔大学教授Andrew Granvill都感叹这种做法的不可思议：

此前我只是觉得，这是一个不可能被解决的问题，任何头脑正常的人都没法做到。

所以，这一猜想究竟是什么，Bloom的证明方法又究竟“不可思议”在哪里？

一个与“最古老数学问题”有关的猜想

在数学里，任意有理数都可以表示成分数，且分子分母都是整数。

但是在3000多年前的古埃及，他们的分数只有分子为1一种情况，我们现在叫它单位分数。

也就是说，他们的字典里没有“3/4”这类东西，因为3/4也需要被写成1/4+1/2。

古埃及的文字里，一只眼睛下面放一个数字就代表了一个单位分数。

从1到100万都有相应的图形。

虽然它和我们现在的数学相去甚远，但其实所有分数都可以写成单位分数之和的形式。

因此这种表示方法被称作古埃及分数。

显然，1也可以写成古埃及分数：1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

这个看似简单的问题经久不衰，1970年代，著名数学家Paul Erdős和Ronald Graham提出了一个关于古埃及分数的猜想：

把正整数划分成若干个子集，那么必然有一个子集中存在一组数，可以把1表示成古埃及分数形式。

△从左至右依次为Paul Erdős和Ronald Graham夫妇

（注：Ronald Graham中文名“葛立恒”，就是提出葛立恒数的那位数学家。）

比如上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6，某个子集中包含这2、3、6这三个数，就可以做到。

那么如果很不巧，2、3、6被分配到不同的子集中，还可以把1拆成古埃及分数形式吗？

其实也是可以的，包含2、3、12、18、36一组整数也行：

表示1的方法千千万，总有符合条件一组数满足条件。

达特茅斯学院的数论学者Carl Pomerance对此评价道：“这可能是有史以来最古老的问题。”

没想到的是，这个最古老的问题最近又发出新芽。

来自牛津大学的数学家Thomas Bloom最近不但提出了比Erdős更厉害的“强化版”，还亲自证明了它。

几周就证明了一个“加强版”

那篇近20年前的论文，由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写，2003年发表在数学领域顶级期刊《数学年刊》上。

他解决Erdős-Graham问题的“基础版本”。

把所有整数随机分配到不同的桶里，至少有一个桶必须包含一组整数，其倒数和等于1。

Bloom仔细阅读后发现，Croot的方法实际上比最初看起来更强大：“所以我研究了几周，这个更强大的结果就出来了。”

Bloom给出的结论是，并不需要把整数分成若干个有限集合，只要集合满足“正密度”的条件，那么这个集合就存在一组整数倒数和为1。

所谓“正密度”是指某一组整数在全体正整数里所占的比例，比如偶数的密度是0.5。

假如有一组整数集合记作A，在前n项中不大于n的项记作α，当n趋于无穷大时，α/n极限就是叫做A的自然密度。

而Bloom提出而条件是密度大于零即可，无论这个密度多低（10%、1%、0.0001%甚至更低），这显然比把整数分成有限份的条件更加苛刻。

嗯，充分说明哪怕是“读论文”这种科研作业，也要认真一点，说不定读着读着灵感就来了（手动狗头）

作者介绍

Thomas Bloom，目前在牛津大学进行数学方面的研究工作，获得过英国皇家学会大学研究金，后者专门用于给各领域杰出年轻科学家提供科研资金。

Bloom曾于布里斯托大学获得博士学位，并在剑桥大学进行过博士后相关工作，本科毕业于牛津大学数学与哲学专业。

在进行这项研究之前，他也曾经和获得过“数论界最高奖”柯尔奖的牛津大学教授James Maynard合作，完成过一篇关于无方差集的论文。

One More Thing

对于任意有理数，我们都可以用简单的算法找到古埃及分数表示。

最常用的便是贪心算法。

以7/15为例，我们先找到最接近它的单位分数1/3，得到：

7/15 = 1/3 + 2/15

接着寻找最接近剩余项2/15的单位分数，即1/8。依次类推，直到剩余项也是单位分数为止。

7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120

怎么寻找最接近的单位分数呢？将分母除以分子并向上取整即可。

以下是Python版的代码：

# Python3 program to print a fraction
# in Egyptian Form using Greedy
# Algorithm

# import math package to use
# ceiling function
import math

# define a function egyptianFraction
# which receive parameter nr as
# numerator and dr as denominator
def egyptianFraction(nr, dr):

    print("The Egyptian Fraction " +
          "Representation of 0/1 is".
                format(nr, dr), end="\\n")

    # empty list ef to store
    # denominator
    ef = []

    # while loop runs until
    # fraction becomes 0 i.e,
    # numerator becomes 0
    while nr != 0:

        # taking ceiling
        x = math.ceil(dr / nr)

        # storing value in ef list
        ef.append(x)

        # updating new nr and dr
        nr = x * nr - dr
        dr = dr * x

    # printing the values
    for i in range(len(ef)):
        if i != len(ef) - 1:
            print(" 1/0 +" .
                    format(ef[i]), end = " ")
        else:
            print(" 1/0" .
                    format(ef[i]), end = " ")

# calling the function
egyptianFraction(6, 14)

# This code is contributed
# by Anubhav Raj Singh

你能写出其他语言的版本，或是写出其他古埃及分数算法的代码吗？

参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
[2]https://twitter.com/thomasfbloom
[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA
[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Graham_problem
[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html
[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04

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