漫步数学分析七——集合的闭包

Posted 2022-03-22 会敲键盘的猩猩

集合$A$的内部是$A$的最大开子集，同样地，我们也能构造一个包含$A$的最小闭集，这个集合就成为$A$的闭包(closure)并用$\\textcl(A)$或$\\barA$表示。

$\\textbf定义5$ 令$A\\subset R^n$，集合$\\textcl(A)$ 定义成所有包含$A$的闭集之交(所以根据定理3$\\textrm(ii)$可得$\\textcl(A)$也是闭的)。

例如$R^1$中，$\\textcl((0,1])=[0,1]$，另外注意$A$是闭集当且仅当$\\textcl(A)=A$，

$\\textbf定理5$ 令$A\\subset R^n$，那么$\\textcl(A)$由$A$加上所有$A$的聚点组成。

换句话说，，为了求出集合$A$的闭包，我们需要$A$加上所有不在$A$中的聚点，根据前面给出的实例，定理5在直观上比较明显。

$\\textbf例1：$找出$R$中$A=[0,1)\\cup\\2\\$的闭包。

$\\textbf解：$该集合的聚点是[0,1]，所以闭包是$[0,1]\\cup\\2\\$，这很明显是包含$A$的最小闭集。

$\\textbf例2：$对于任意$A\\subset R^n$，说明$R^n\\backslash\\textcl(A)$是开集。

$\\textbf解：$$\\textcl(A)$是闭集，那么它的补是开集。

$\\textbf例3：$$\\textcl(A\\cap B)=\\textcl(A)\\cap\\textcl(B)$成立吗？

$\\textbf解：$答案为否。例如令$A=[0,1],B=(1,2]$，那么$A\\cap B=\\emptyset$并且$\\textcl(A)\\cap\\textcl(B)=\\1\\$。