2021-2022-2 ACM集训队每周程序设计竞赛 - 问题 D: 上数论课 - 题解

Posted 2022-03-15 Tisfy

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上数论课

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题目描述

同学们都进入了教室后，李老师上起了数论课。

给你两个正整数 $A$ 和 $B$，从中选择一些 $A$ 、 $B$ 的公共因数，并且要保证选取的这些因数是互质的。

请问最多选择多少个公共因数。

因数解释 如果 a % b = 0 ，那么 b 就是 a 的因数。

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输入描述

A B

第一行空格隔开的两个正整数 $A$ 和 $B$

数据范围：

• $1\le A,B\le 10^{12}$

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输出描述

输出一行一个正整数，代表最多选择的互质的公共因数的个数

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样例一

输入

12 18

输出

3

12 和 18 的公共因子有1，2，3，6

最多可以从中选择三个（如1，2，3）使得所选因子互质

样例二

输入

420 660

输出

4

样例三

输入

1 2019

输出

1

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题目分析

我们只需要把 $A$ 和 $B$ 分别分解质因数，然后输出$A$和$B$的共同质因数的个数即可。

具体方法：

对于$A$，我们只需要把$A$从$2$到$sqrt(A)$进行取模。在$i$是$A$的因数的时候，就不断让$A$除以$i$，同时$cnt[i]++$。

这样例如$4$是$12$的因数，当$i=2$时，$12$会一直除以$2$，直到不再是$2$的倍数。这样就模$4$时余数就不等于$0$，也就是说非质数的$4$不会被统计。

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;

const int SIZE_ = 1e6 + 1;
int primeA[SIZE_];
int primeB[SIZE_];

int main() 
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    ll to = max(sqrt(a), sqrt(b));
    for (ll i = 2; i <= to; i++) 
        while (a % i == 0)   // a 是 i 的整数倍
            primeA[i]++;
            a /= i;
        
        while (b % i == 0) 
            primeB[i]++;
            b /= i;
        
    
    int ans = 1;  // 所选因数中除了质数外还可以多选择一个“1”
    for (int i = 2; i <= to; i++) 
        ans += primeA[i] && primeB[i];  // i同时是a和b的因数
    
    if (a == b && a != 1)  // 如果剩下的a是一个大于sqrt(a)的质数
        ans++;
    cout << ans << endl;
    return 0;

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/123415455