数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质 | 证明过程 )

Posted 2022-03-12 韩曙亮

文章目录

• 一、傅里叶变换时移性质
• • 1、证明过程
  • 2、使用场景

一、傅里叶变换时移性质

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傅里叶变换频移性质 :

" 序列信号 $x(n)$ " 的 " 傅里叶变换 A " ,

" 序列信号 $x(n)$ " 与 " 单位复指数 $e^{j{\omega }_{0}n}$ " 相乘 , 得到的 " 序列 B " ,

注意这里的 单位复指数 中的 ${\omega }_0$ 就是 傅里叶变换 中的移位 ,

求该 " 序列 B " 的 " 傅里叶变换 C " ,

" 傅里叶变换 A " 与 " 傅里叶变换 C " 这两个频域信息形状相同 , 位移相差 ${\omega }_0$ ;

也就是说

" 傅里叶变换 A " 移位 ${\omega }_0$ 后, 得到 " 傅里叶变换 C " ;

使用公式表示为 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega -{\omega }_0)})$$

1、证明过程

傅里叶变换 公式为 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}①$$

将 $e^{j{\omega }_{0}n}x(n)$ 作为序列 , 代入到上面的公式 ① 中 , 得到 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{e}^{j{\omega }_{0}n}x(n)e^{-j\omega n}$$

移项 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{j{\omega }_{0}n}{e}^{-j\omega n}$$

合并 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 与 $e^{-j\omega n}$ 项 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j(\omega -{\omega }_0)n}$$

最终得到 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega -{\omega }_0)})$$

证明完毕 ;

2、使用场景

宽带信号 , 其中有很多信号 , 将信号从一个频率搬移到另一个频率中 , 使用滤波将其它信号过滤 , 然后采样播放出来 ;

频率搬移的过程 , 使用的就是 傅里叶变换频移性质 ;