从傅立叶级数到傅立叶变换

Posted 2022-03-08 卡尔曼和玻尔兹曼谁曼

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写作时间：2019-10-31

如果有公式乱码，参见我的个人博客从傅立叶级数到傅立叶变化

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文章目录

• 傅立叶级数
• 傅立叶变换

写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。

傅立叶级数

学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。

设周期为$T$的周期函数$f(x)$的傅立叶级数为

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{2\pi nx}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nx}{T}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，系数$a_n$和$b_n$分别为：

$$\begin{array}{ll}{a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos \frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x& (n=0,1,2,\cdots )\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin \frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x& (n=1,2,3,\cdots )\end{array}\}\text{\hspace{1em}(2)}$$

利用欧拉公式$$\cos t=\frac{{\mathrm{e}}^{t\mathrm{i}}+{\mathrm{e}}^{-ti}}{2},\sin t=\frac{{\mathrm{e}}^{ti}-{\mathrm{e}}^{-ti}}{2\mathrm{i}}$$

可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{i}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

系数$c_n$为

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x){\mathrm{e}}^{-\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{i}}\mathrm{d}x(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\text{\hspace{1em}(4)}$$

傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。

傅立叶变换

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。

图片来源：Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform

下面我们看一下，当周期$T$趋于$\infty$的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。

令$\frac{1}{T}=\Delta \omega$，则

KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \\begin̲a̲l̲i̲g̲n̲̲f(x) &= \\sum\\li…

当$史上对傅立叶变换最精细的解读$

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