AcWing 91. 最短Hamilton路径（状态压缩DP+哈密顿回路）

Posted 2022-03-02 MangataTS

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/description/93/

思路

这道题看似像一个最短路，但是并不是，因为我们要求对于每一个点都经过，但是最短路不能保证，所以我们换一个思路用DP，我们定义$f[i][j]$表示从0走到j，走过的所有点是i状态的最短路径，其中的i我们将其看为二进制表示，对于每一位我们用1表示这一个点走过，用0表示这一个点没走过，那么我们要经过第一个点是0，所以我们初始化$f[1][0]=0$表示走到0这个点花费的路径价值为0，然后假设倒数第二个点为$k$那么我们要求的其实就是$s->k->j$的一个路径最小值，对于$k->j$的路径我们已经固定了即$w[k][j]$，那么从$s->k$的一个距离最短值就需要从前面的状态转移过来即：$f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j])$，最后$f[(1<<n)-1][n-1]$就是从$0$走到$n-1$且将所有点都走过（因为状态都标成1了）的最短路径值

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 21;
int w[N][N],f[1<<N][N];
int n;

int main()

	cin>>n;
	for(int i = 0;i < n; ++i) 
		for(int j = 0;j < n; ++j)
			cin>>w[i][j];
	
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[1][0] = 0;
	for(int i = 0,l = (1<<n);i < l; ++i)
		for(int j = 0;j < n; ++j) 
			if(i & (1 << j))
				for(int k = 0;k < n; ++k) 
					if(i & (1 << k))
						f[i][j] = min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k] + w[k][j]);
	
	cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
	
	return 0;