AcWing 890. 能被整除的数（容斥原理）

Posted 2022-02-23 MangataTS

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/892/

思路

我们可以直接通过除法来计算每一个质数的倍数有多少个，但是这样的话可能会出现重复计算的情况，例如6是2，3的倍数，所以如果我们的n大于等于6的时候会将这个计算两次，那么我们可以通过容斥原理来计算这个整个集合的数量，我们可以通过二进制枚举或者dfs来枚举我们当前选择的集合（0个数不能算作集合，并且超过n的数也不能算在集合内）

容斥原理的思想：$|S_1|+|S_2|+|S_3|-|S_1{S}_2|-|S_1{S}_3|-|S_2{S}_3|+|S_1{S}_2{S}_3|$然后以此类推，如果是奇数个元素那么就是做加法，偶数个元素做减法

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//----------------自定义部分----------------
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define endl "\\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f

int dx[4] = -1, 0, 1, 0, dy[4] = 0, 1, 0, -1;

ll ksm(ll a,ll b) 
	ll ans = 1;
	for(;b;b>>=1LL) 
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
	
	return ans;


ll lowbit(ll x)return -x & x;

const int N = 2e6+10;
//----------------自定义部分----------------
ll t,n,m,q,a[N];
void slove()
	cin>>n>>m;
	for(int i = 0;i < m; ++i) cin>>a[i];
	ll ans = 0;
	for(int i = 0;i < (1<<m); ++i) 
		ll cnt = 0LL,res = 1LL;
		for(int j = 0;j < m; ++j) 
			if((i >> j) & 1) 
				res *= a[j],cnt++;
				if(res > n) //超过n就不做计算了否则可能会发生溢出
					cnt = 0;
					break;
				
			
		
		if(cnt)
			if(cnt & 1) ans += n/res;
			else ans -= n/res;
		
		
	
	cout<<ans<<endl;
	



int main()

	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	t = 1;
	while(t--)
		slove();
	
	
	return 0;