数据机构与算法之深入解析“交错字符串”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-21 Serendipity·y

一、题目要求

• 给定三个字符串 s1、s2、s3，请帮忙验证 s3 是否是由 s1 和 s2 交错组成的。
• 两个字符串 s 和 t 交错的定义与过程如下，其中每个字符串都会被分割成若干非空子字符串：
• • s = s1 + s2 + … + sn
• • t = t1 + t2 + … + tm
• • |n - m| <= 1
• • 交错是 s1 + t1 + s2 + t2 + s3 + t3 + … 或者 t1 + s1 + t2 + s2 + t3 + s3 + …
• 注意：a + b 意味着字符串 a 和 b 连接。
• 示例 1：

输入：s1 = "aabcc", s2 = "dbbca", s3 = "aadbbcbcac"
输出：true

• 示例 2：

输入：s1 = "aabcc", s2 = "dbbca", s3 = "aadbbbaccc"
输出：false

• 示例 3：

输入：s1 = "", s2 = "", s3 = ""
输出：true

• 提示：
• • 0 <= s1.length, s2.length <= 100
• • 0 <= s3.length <= 200
• • s1、s2、和 s3 都由小写英文字母组成。

二、求解算法

① 动态规划

• 使用 dp[i][j] 表示 S₁ 的前 i 个字符和 S₂ 的前 j 个字符是否能构成 S₃ 的前 i+j 个字符，首先 dp[0][0] 一定是 True：

• 初始化 S₁、S₂、S₃ 的长度分别为 len1，len2，len3；
• 若 len1+len2!=len3，表示一定不能构成交错字符串，返回 False；
• 初始化 dp 为 (len1+1)∗(len2+1) 的 False 数组。
• 初始化第一列 dp[i][0]，遍历第一列，遍历区间 [1,len1+1)：
• • dp[i][0]=dp[i−1][0]ands1[i−1]==s3[i−1]，表示 S₁ 的前 i 位是否能构成 S₃ 的前 i 位。
• • 因此需要满足的条件为，前 i−1 位可以构成 S₃ 的前 i−1 位且 S₁ 的第 i 位（s1[i−1]）等于 S₃ 的第 i 位（s3[i−1]）。
• 初始化第一行 dp[0][j]，遍历第一行，遍历区间 [1,len2+1)：
• • dp[0][i]=dp[0][i−1]ands2[i−1]==s3[i−1]，表示 S₂ 的前 i 位是否能构成 S₃ 的前 i 位。
• • 因此需要满足的条件为，前 i−1 位可以构成 S₃ 的前 i−1 位且 S₂ 的第 i 位（s2[i−1]）等于 S₃ 的第 i 位（s3[i−1]）
• 遍历 dp 数组，每一行 i，遍历区间 [1,len1+1)：每一列 j，遍历区间 [1,len2+1)：
• • dp[i][j]=(dp[i][j-1]\\ and\\ s2[j-1]==s3[i+j-1])\\ or\\ (dp[i-1][j]\\ and\\ s1[i-1]==s3[i+j-1])$$ 。解释：$s1$ 前$i$ 位和 $s2$ 的前 $j$ 位能否组成 $s3$ 的前 $i+j$ 位取决于两种情况：
• • S₁ 的前 i 个字符和 S₂ 的前 j−1 个字符能否构成 S₃ 的前 i+j−1 位，且 S₂ 的第 j 位（s2[j−1]）是否等于 S₃ 的第 i+j 位（s3[i+j−1]）。
• 返回 dp[−1][−1]。
• Python 示例：

class Solution:
    def isInterleave(self, s1: str, s2: str, s3: str) -> bool:
        len1=len(s1)
        len2=len(s2)
        len3=len(s3)
        if(len1+len2!=len3):
            return False
        dp=[[False]*(len2+1) for i in range(len1+1)]
        dp[0][0]=True
        for i in range(1,len1+1):
            dp[i][0]=(dp[i-1][0] and s1[i-1]==s3[i-1])
        for i in range(1,len2+1):
            dp[0][i]=(dp[0][i-1] and s2[i-1]==s3[i-1])
        for i in range(1,len1+1):
            for j in range(1,len2+1):
                dp[i][j]=(dp[i][j-1] and s2[j-1]==s3[i+j-1]) or (dp[i-1][j] and s1[i-1]==s3[i+j-1])
        return dp[-1][-1]

② 动态规划（LeetCode 官方解法）

• 记 ∣s1∣=n，∣s2∣=m。
• 双指针法错在哪里？ 也许我们第一反应是使用双指针法解决这个问题，指针 p1 一开始指向 s1 的头部，指针 p2一开始指向 s2 的头部，指针 p3 指向 s3 的头部，每次观察 p1 和 p2 指向的元素哪一个和 p3 指向的元素相等，相等则匹配并后移指针。样例就是一个很好的反例，用这种方法判断 s1 = aabcc，s2 = dbbca，s3 = aadbbcbcac 时，得到的结果是 False，实际应该是 True。
• 解决这个问题的正确方法是动态规划：
• • 首先如果 ∣s1∣ + ∣s2∣ = ∣s3∣，那 s3 必然不可能由 s1 和 s2 交错组成。在 ∣s1∣ + ∣s2∣ = ∣s3∣ 时，可以用动态规划来求解。
• • 定义 f(i,j) 表示 s1 的前 i 个元素和 s2 的前 j 个元素是否能交错组成 s3 的前 i+j 个元素；
• • 如果 s1 的第 i 个元素和 s3 的第 i+j 个元素相等，那么 s1 的前 i 个元素和 s2 的前 j 个元素是否能交错组成 s3 的前 i+j 个元素取决于 s1 的前 i−1 个元素和 s2 的前 j 个元素是否能交错组成 s3 的前 i+j−1 个元素，即此时 f(i,j) 取决于 f(i−1,j)，在此情况下如果 f(i−1,j) 为真，则 f(i,j) 也为真。
• • 同样的，如果 s2 的第 j 个元素和 s3 的第 i+j 个元素相等并且 f(i,j−1) 为真，则 f(i,j) 也为真，于是可以推导出这样的动态规划转移方程：

• 其中 p=i+j−1，边界条件为 f(0,0)=True。
• Java 示例：

class Solution 
    public boolean isInterleave(String s1, String s2, String s3) 
        int n = s1.length(), m = s2.length(), t = s3.length();

        if (n + m != t) 
            return false;
        

        boolean[][] f = new boolean[n + 1][m + 1];

        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) 
            for (int j = 0; j <= m; ++j) 
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) 
                    f[i][j] = f[i][j] || (f[i - 1][j] && s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(p));
                
                if (j > 0) 
                    f[i][j] = f[i][j] || (f[i][j - 1] && s2.charAt(j - 1) == s3.charAt(p));
                
            
        

        return f[n][m];
    

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) 
        auto f = vector < vector <int> > (s1.size() + 1, vector <int> (s2.size() + 1, false));

        int n = s1.size(), m = s2.size(), t = s3.size();

        if (n + m != t) 
            return false;
        

        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) 
            for (int j = 0; j <= m; ++j) 
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) 
                    f[i][j] |= (f[i - 1][j] && s1[i - 1] == s3[p]);
                
                if (j > 0) 
                    f[i][j] |= (f[i][j - 1] && s2[j - 1] == s3[p]);
                
            
        

        return f[n][m];
    
;