CF1634 F. Fibonacci Additions

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题意: q q q次操作,每次给数组 A A A或者 B B B [ l , r ] [l,r] [l,r]位置加上一个斐波那契数列,问每次操作之后 A B AB AB数组是否相同
考虑斐波那契的生成函数
f ( x ) = 1 + 1 x + 2 x 2 + . . . + f i b i − 1 x i + . . . = ∑ i = 0 f i b i + 1 x i x f ( x ) = ∑ i = 1 f i b i x i , x 2 f ( x ) = ∑ i = 2 f i b i − 1 x i f ( x ) − x f ( x ) − x 2 f ( x ) = 1 f ( x ) = 1 1 − x − x 2 f(x)=1+1x+2x^2+...+fib_i-1x^i+...=\\sum_i=0fib_i+1x^i\\\\ xf(x)=\\sum_i=1fib_ix^i,x^2f(x)=\\sum_i=2fib_i-1x^i\\\\ f(x)-xf(x)-x^2f(x)=1\\\\ f(x)=\\frac 1 1-x-x^2 f(x)=1+1x+2x2+...+fibi1xi+...=i=0fibi+1xixf(x)=i=1fibixi,x2f(x)=i=2fibi1xif(x)xf(x)x2f(x)=1f(x)=1xx21
如果把 A , B A,B A,B看做两个多项式
A ( x ) = ∑ i = 1 n a i x i B ( x ) = ∑ i = 1 n b i x i A(x)=\\sum_i=1^na_ix^i\\\\ B(x)=\\sum_i=1^nb_ix^i A(x)=i=1naixiB(x)=i=1nbixi
那么在 A A A数组 [ l , r ] [l,r] [l,r]位置加上一个斐波那契数列就相当于
A ( x ) + = x l f ( x ) − f i b r − l + 2 x r f ( x ) − f i b r − l + 1 x r + 1 f ( x )    ⟺    A ( x ) + = x l 1 1 − x − x 2 − f i b r − l + 2 x r 1 1 − x − x 2 − f i b r − l + 1 x r + 1 1 1 − x − x 2 A(x)+=x^lf(x)-fib_r-l+2x^rf(x)-fib_r-l+1x^r+1f(x)\\\\ \\iff A(x)+=x^l\\frac 1 1-x-x^2-fib_r-l+2x^r\\frac 1 1-x-x^2-fib_r-l+1x^r+1\\frac 1 1-x-x^2 A(x)+=xlf(x)fibrl+2xrf(x)fibrl+1xr+1f(x)A(x)+=xl1xx21fibrl+2xr1xx21fibrl+1xr+11xx21
两边同乘 ( 1 − x − x 2 ) (1-x-x^2) (1xx2)
   ⟺    ( 1 − x − x 2 ) A ( x ) + = x l − f i b r − l + 2 x r − f i b r − l + 1 x r + 1 \\iff (1-x-x^2)A(x)+=x^l-fib_r-l+2x^r-fib_r-l+1x^r+1 (1xx2)A(x)+=xlfibrl+2xrfibrl+1xr+1
每次修改复杂度就降为 O ( 1 ) O(1) O(1)
然后考虑 ( 1 − x − x 2 ) A ( x ) (1-x-x^2)A(x) (1xx2)A(x)的实际意义,即构造一个辅助数组 D D D
D i = A i − A i − 1 − A i − 2 D_i=A_i-A_i-1-A_i-2 Di=AiAi1(2016弱校联盟十一专场10.5) F. Fibonacci of Fibonacci

cf 864 F. Cities Excursions

CF F. Royal Questions kruskal

CF981 F. Round CF(二分+Hall定理)

CF F. Shovels Shop(前缀和预处理+贪心+dp)

CF 977 F. Consecutive Subsequence