匈牙利算法，二分图的最大匹配

Posted 2022-02-14 钟钟终

匈牙利算法的不同运用
1.本质计算二分图的最大匹配数，此题为匈牙利算法模板题。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3386

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n,m,e,g[505][505],link[505];
bool used[505];
bool dfs(int u)

    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(g[u][i]&&used[i]==0) //used[i]避免重复的深搜，这个男生u去找新的女生
        
            used[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            
                link[i]=u;
                return true;
            
        
    
    return false;

int hungary()

    memset(link,-1,sizeof(link));
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        memset(used,0,sizeof(used));//记录这一趟对女生的访问情况
        if(dfs(i)) res++;
    
    return res;

int main()

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
    for(int i=1;i<=e;i++)
    
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u][v]=1;
    
    printf("%d\\n",hungary());
    return 0;

2.模板题，但变换输出格式
https://www.luogu.com.cn/problem/P2756

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n,m,g[505][505],link[505];
bool used[505];
bool dfs(int u)

    for(int i=m+1;i<=n;i++)
    
        if(g[u][i]&&used[i]==0) //used[i]避免重复的深搜，这个男生u去找新的女生
        
            used[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            
                link[i]=u;
                return true;
            
        
    
    return false;

int hungary()

    memset(link,-1,sizeof(link));
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        memset(used,0,sizeof(used));//记录这一趟对女生的访问情况
        if(dfs(i)) res++;
    
    return res;

int main()

    scanf("%d%d",&m,&n);
    while(1)
    
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if(u==-1&&v==-1)break;
        g[u][v]=1;
    
    printf("%d\\n",hungary());
    for(int i=m+1;i<=n;i++)
    
        if(link[i]!=-1)
        cout<<link[i]<<" "<<i<<endl;
    
    return 0;

4.匈牙利算法的变形应用（总数-最大匹配数）+染色技巧

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,m,g[maxn][maxn],link[maxn],col[maxn];
bool used[maxn];
void color(int u,int pre,int c)  //染色原理

    col[u]=c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(g[u][i]&&!col[i])
        color(i,u,3-c);

bool dfs(int u)

    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(col[i]!=2) continue;
        if(g[u][i]&&used[i]==0) //used[i]避免重复的深搜，这个男生u去找新的女生
        
            used[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            
                link[i]=u;
                return true;
            
        
    
    return false;

int hungary()

    memset(link,-1,sizeof(link));
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(col[i]!=1) continue;
        memset(used,0,sizeof(used));//记录这一趟对女生的访问情况
        if(dfs(i)) res++;
    
    return res;

int main()

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        int u,v;cin>>u>>v;
        u++;v++;
        g[u][v]=g[v][u]=1;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)  //给每个人进行染色,区分出同一性别的人
                          //起到分类的作用
        if(!col[i]) color(i,0,1);
    
    printf("%d\\n",n-hungary());
    return 0;

5.平平无奇的一道绿题，手写直接过！

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=205;
int n,m,link[maxn];
bool used[maxn],g[maxn][maxn];
int dfs(int u)

    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(g[u][i]&&!used[i])
        
            used[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            
                link[i]=u;return 1;
            
        
    
    return 0;

int hungary()

    int res=0;
    memset(link,-1,sizeof(link));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(dfs(i))
            res++;
    
    return res;

int main()

    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        scanf("%d",&a);
        for(int j=1;j<=a;j++)
        
            int b;scanf("%d",&b);
            g[i][b]=1;
        
    
    cout<<hungary()<<endl;
    return 0;

6.双二分图，三张图之间两两匹配，重点是需要利用数组来模拟回溯的过程。
https://www.luogu.com.cn/problem/P1402

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=105;
int n,m,link[maxn],link2[maxn],p,q,pre1[maxn],pre2[maxn],ans;
bool v1[maxn],v2[maxn],g[maxn][maxn];
struct node

    int fang[maxn],cai[maxn];
e[maxn];
int dfs(int u)

    for(int i=1;i<=p;i++)
    
        if(e[u].fang[i]&&!v1[i])
        
            v1[i]=1;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            
                link[i]=u;return 1;
            
        
    
    return 0;

int dfs1(int u)

    for(int i=1;i<=q;i++)
    
        if(e[u].cai[i]&&!v2[i])
        
            v2[i]=1;
            if(link2[i]==-1||dfs1(link2[i]))
            
                link2[i]=u;return 1;
            
        
    
    return 0;

int main()

    scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=p;j++)
            cin>>e[i].fang[j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=p;j++)
            cin>>e[i].cai[j];
    memset(link,-1,sizeof(link));
    memset(link2,-1,sizeof(link2));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        memset(v1,0,sizeof(v1));
        memset(v2,0,sizeof(v2));
        for(int j=1;j<=p;j++)
            pre1[j]=link[j];
        for(int j=1;j<=q;j++)
            pre2[j]=link2[j];
        if(dfs(i)&&dfs1(i))
            ans++;
        else
        
            for(int j=1;j<=p;j++)
            link[j]=pre1[j];
            for(int j=1;j<=q;j++)
            link2[j]=pre2[j];
        
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

7.变型求最大匹配，难点在于座位的变型，一排能做两个人（也就是v结点集一个点可以连两个u上面结点），常规解法会超时，具体看代码

一般数据范围超过2000，便要采用这种处理方式降低复杂度。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n,link[4005],cnt[4005],g[4005][4005];
bool used[4005];
bool dfs(int u)

    for(int i=1;i<=cnt[u];i++) //这种处理方式的时间复杂度更低，不会超时，不必对每个数从1到2*n的搜索
    
        if(!used[g[u][i]]) //used[i]避免重复的深搜，这个男生u去找新的女生
        
            used[g[u][i]]=1;
            if(link[g[u][i]]==-1||dfs(link[g[u][i]]))
            
                link[g[u][i]]=u;
                return true;
            
        
    
    return false;

int hungary()

    memset(link,-1,sizeof(link));
    int res=0;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
    
        memsetP2071 座位安排(二分图最大匹配)

 二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
 (转)二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
 二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
 二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
 匈牙利算法求二分图的最大匹配数