数据结构与算法之深入解析“有效的数独”的求解思路与算法示例

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数据结构与算法之深入解析“有效的数独”的求解思路与算法示例相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、题目要求

  • 请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ,验证已经填入的数字是否有效即可。
    • 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
    • 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
    • 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。
  • 注意:
    • 一个有效的数独(部分已被填充)不一定是可解的。
    • 只需要根据以上规则,验证已经填入的数字是否有效即可。
    • 空白格用 ‘.’ 表示。
  • 示例一:

输入:board = 
[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出:true
  • 示例 2:
输入:board = 
[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出:false
解释:除了第一行的第一个数字从 5 改为 8 以外,空格内其他数字均与示例 1 相同。 但由于位于左上角的 3x3 宫内有两个 8 存在, 因此这个数独是无效的。
  • 提示:
    • board.length == 9;
    • board[i].length == 9;
    • board[i][j] 是一位数字(1-9)或者 ‘.’。

二、求解算法

① 哈希表

  • 由于只要判断是否为有效的数独,所以只需要对 board 中出现的数进行判断,如果 board 中有数违反了数独的规则,返回 false,否则返回 true。
  • 直观上,我们很容易想到使用 哈希表 来记录某行/某列/某个小方块出现过哪些数字,来帮助我们判断是否符合「有效数独」的定义。
  • 这道题唯一的难点可能是在于如何确定某个数落在哪个小方块中,我们可以去小方块进行编号:

  • 然后推导出小方块编号和行列的关系为: idx=⌊i/3⌋∗3+⌊j/3⌋。
  • Java 示例:
class Solution 
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) 
        Map<Integer, Set<Integer>> row  = new HashMap<>(), col = new HashMap<>(), area = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            row.put(i, new HashSet<>());
            col.put(i, new HashSet<>());
            area.put(i, new HashSet<>());
        
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            for (int j = 0; j < 9; j++) 
                char c = board[i][j];
                if (c == '.') continue;
                int u = c - '0';
                int idx = i / 3 * 3 + j / 3;
                if (row.get(i).contains(u) || col.get(j).contains(u) || area.get(idx).contains(u)) return false;
                row.get(i).add(u);
                col.get(j).add(u);
                area.get(idx).add(u);
            
        
        return true;
    

② 数组

  • 大多数的哈希表计数问题,都能转换为使用数组解决。
  • 虽然时间复杂度一样,但哈希表的更新和查询复杂度为均摊 O(1),而定长数组的的更新和查询复杂度则是严格 O(1)。因此从执行效率上来说,数组要比哈希表快上不少。
  • Java 示例:
class Solution 
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) 
        boolean[][] row = new boolean[10][10], col = new boolean[10][10], area = new boolean[10][10];        
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            for (int j = 0; j < 9; j++) 
                int c = board[i][j];
                if (c == '.') continue;
                int u = c - '0';
                int idx = i / 3 * 3 + j / 3;
                if (row[i][u] || col[j][u] || area[idx][u]) return false;
                row[i][u] = col[j][u] = area[idx][u] = true;
            
        
        return true;
    

③ 位运算

  • 更进一步,可以使用一个 int 来记录 某行/某列/某个小方块 的数值填入情况:使用从低位开始的 [1,9] 位来记录该数值是否已被填入。
  • 例如 (…111000111.)2 代表数值 [1,3] 和 [7,9] 均被填入。
  • Java 示例:
class Solution 
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) 
        int[] row = new int[10], col = new int[10], area = new int[10];
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            for (int j = 0; j < 9; j++) 
                char c = board[i][j];
                if (c == '.') continue;
                int u = c - '0';
                int idx = i / 3 * 3 + j / 3;
                if ((((row[i] >> u) & 1) == 1) || (((col[j] >> u) & 1) == 1) || (((area[idx] >> u) & 1) == 1)) return false;
                row[i] |= (1 << u);
                col[j] |= (1 << u);
                area[idx] |= (1 << u);
            
        
        return true;
    

④ 一次遍历(LeetCode 官方解法)

  • 有效的数独满足以下三个条件:
    • 同一个数字在每一行只能出现一次;
    • 同一个数字在每一列只能出现一次;
    • 同一个数字在每一个小九宫格只能出现一次。
  • 可以使用哈希表记录每一行、每一列和每一个小九宫格中,每个数字出现的次数。只需要遍历数独一次,在遍历的过程中更新哈希表中的计数,并判断是否满足有效的数独的条件即可。
  • 对于数独的第 i 行第 j 列的单元格,其中 0≤i,j<9,该单元格所在的行下标和列下标分别为 i 和 j,该单元格所在的小九宫格的行数和列数分别为 ⌊i/3⌋ 和 ⌊j/3⌋,其中 0≤⌊i/3⌋,⌊i/3⌋❤️。
  • 由于数独中的数字范围是 1 到 9,因此可以使用数组代替哈希表进行计数。具体做法是,创建二维数组 rows 和 columns 分别记录数独的每一行和每一列中的每个数字的出现次数,其中 rows[i][index]、columns[j][index] 和 subboxes[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][index] 分别表示数独的第 i 行第 j 列的单元格所在的行、列和小九宫格中,数字 index+1 出现的次数,其中 0≤index<9,对应的数字 index+1 满足 1≤index+1≤9。
  • 如果 board[i][j] 填入了数字 n,则将 rows[i][n−1]、columns[j][n−1] 和 subboxes[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][n−1] 各加 1。如果更新后的计数大于 1,则不符合有效的数独的条件,返回 false。
  • 如果遍历结束之后没有出现计数大于 1 的情况,则符合有效的数独的条件,返回 true。
  • Java 示例:
class Solution 
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) 
        int[][] rows = new int[9][9];
        int[][] columns = new int[9][9];
        int[][][] subboxes = new int[3][3][9];
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            for (int j = 0; j < 9; j++) 
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') 
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) 
                        return false;
                    
                
            
        
        return true;
    

  • C++ 示例:
class Solution 
public:
    bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) 
        int rows[9][9];
        int columns[9][9];
        int subboxes[3][3][9];
        
        memset(rows,0,sizeof(rows));
        memset(columns,0,sizeof(columns));
        memset(subboxes,0,sizeof(subboxes));
        for (int i = 0; i < 9; i++) 
            for (int j = 0; j < 9; j++) 
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') 
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) 
                        return false;
                    
                
            
        
        return true;
    
;

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