数学与数字2：天平称重问题

Posted 2022-01-26 纵横千里，捭阖四方

这是一道典型的应用问题， 但内核就在进制问题的处理。题目要求是：用天平称重时，我们希望用尽可能少的砝码组合称出尽可能多的重量。如果有无限个砝码，但它们的重量分别是1，3，8，27，81````等3的指数幂，神奇之处是用它们的组合可以称出任意整数的重量（砝码允许放在左右两个盘中）。本题目要求编程实现：对用户给定的重量，给出砝码的组合方案，重量<1000000.

先看一下这个题是什么意思，例如一个物体的重量是5，那么我们一个盘子放9，一个放1+3，然后将物体放在右侧，就可以得到物体的重量。其他的都能做类似的组合。这个题目就是让我们找如何做才能给对应的物品找到称重组合。不过这个题没有说可以重复放，所以只能考虑每种只用一次。

这个该从哪里下手呢？自然3是关键，我们再观察一下发现：

5=3^2-3^1-3^0

4=3^1+3^0

13=3^2+3^1-3^0

也就是说先考虑将一个数字先转换成三进制数是个不错的思路。如果组合不出来例如上面的5，我们还要考虑进一个再减，例如上面的5，先进一个获得9，然后右侧要进行减的操作，不然就超。基本思路是：右边加两个砝码变成左边加一个右边加一个。也就是说加两个砝码相当于加一个大的再减去一个小的。在数字上的体现就是：将2变成-1更高位上进1。实现过程还是比较复杂的：

private static void svole(int n) 
		String str = Integer.toString(n, 3);
		//翻转后转换为字符数组
		char[] arr = new StringBuilder(str).reverse().toString().toCharArray();
		Stack<Integer> stack = new Stack();
		for(int i=0; i<arr.length; i++)
			if(arr[i] == '2')
				stack.add(-1);
				if(i==arr.length-1)
					stack.add(1);
				else
					++arr[i+1];
			
			else if(arr[i] == '3')
				stack.add(0);
				if(i==arr.length-1)
					stack.add(1);
				else
					++arr[i+1];
			
			else
				stack.add(arr[i]-'0');
			
		
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		boolean b = true;
		while(stack.size()!=0)
			int t = stack.pop();
			if(t==1 && b)
				sb.append("").append((int)Math.pow(3, stack.size()));
				b = false;
			
			else if(t==1) sb.append("+").append((int)Math.pow(3, stack.size()));
			else if(t==-1) sb.append("-").append((int)Math.pow(3, stack.size()));
		
		System.out.println(sb.toString());