肿瘤增长数学模型

Posted 2022-01-21 陆嵩

曲面偏微分方程的一个实际应用——肿瘤增长

文章目录

• • 曲面偏微分方程的一个实际应用——肿瘤增长
  • • 简介
    • 演化表面上反应扩散方程的推导
    • • 曲面梯度
      • 演化表面上的反应扩散系统
      • 模型说明
    • 曲面有限元方法
    • • 变分形式
      • 演化曲面有限元方法
      • 时间离散
    • 肿瘤增长
    • • 模型建立
      • 数值方法
      • 数值结果
      • 网格自适应和重新划分网格

简介

基本想法是利用表面有限元数值方法求解演化曲面上的反应扩散方程。不断增长的生物表面上的模式形成，是通过求解曲面上的反应扩散方程得到的，可以参考图灵的经典文章 ¹。这种方程表现出空间均匀结构的扩散驱动不稳定性，导致空间不均匀的图案。这项工作的进一步的发展，有了更多的数学模型，其中的一些应用包括九头蛇的图案形成、脊椎动物的连续图案形成、动物的皮肤表面的颜色标记、蝴蝶翅膀上的色素沉着图案等等。可以参考综述文章 ²。

图灵的原始工作没有考虑几何的增长和变化。然而，这些因素在自然界中所观察到的模式的发展中很重要。增长的区域上的模式形成已被广泛研究。例如 Crampin 等人 ³ 考虑一维区域的区域增长，并表明它可能是一种机制，用于增加模式形成时，相对于初始条件的稳健性。在了解在一种名叫 Pomacanthus 的鱼中观察到的条纹进化的背景下⁴，二维增长平面区域被考虑⁵。也可以看看⁶，其中图灵扩散驱动的不稳定性条件被推广到具有缓慢、各向同性增长的反应扩散系统。本文中提出的数值方法是一种在演化表面上探索此类反应动力学的工具。

许多有趣的工作都是关于增长平面区域的。然而，在生物的应用中，很自然地考虑在不断发展的空间三维区域的表面上形成图案，例如我们参考⁷，和⁸等，其中研究了曲率
对固定球体和生长锥体的图案形成的影响。另一项初步研究是在这篇文章 ⁹ 中，它提出了一种数值方法，用于解决球形表面图案形成问题，并应用于实体肿瘤生长。他们的数值方法基于参数化球体上的表面，然后使用线方法。

下面提到的方法基于表面有限元方法，它是有限元方法⁶的自然延伸，并且能够处理复杂的几何形状和形状^101112131415。这个想法是对表面进行三角剖分，并使用基于三角剖分的分段线性表面有限元空间来逼近偏微分方程组。在这种情况下，三角剖分的顶点以规定的或受某些进化规律支配的速度移动。为了做到这一点，我们需要在表面给出一个适当的守恒定律。当以适当的变分形式给出时，演化表面有限元方法利用了该守恒定律的特殊特征。

接下来，我们要介绍的内容陈述如下。

首先，我们给出演化表面上的反应扩散方程。在这个框架内，我们给出了表面梯度的符号表达，这是演化表面上的第一原理反应扩散系统推导出来的关键。我们考虑经过充分研究的活化剂耗尽衬底模型¹⁶¹⁷¹⁸，它也被称为 Brusselator 模型。同样，在此框架中可以轻松处理任何其他合理的反应动力学。我们还讨论了表面生长模型的建模。

其次，我们看看一个演化表面有限元方法，该方法应用于改变形状的演化表面上的反应扩散系统。变分公式的一个特点是不会出现某些几何量，例如曲面的平均曲率和法线。然后通过有限元方法以自然的方式利用这一点。在这种方法中，在导出反应扩散系统或利用表面有限元方法时不需要转换或参数化。在空间中离散会产生一个非自治常微分方程组，该方程组在时间上是离散的。特别是因为这个应用涉及半线性抛物方程，我们线性化非线性动力系统[^马兹瓦缪斯]，以获得线性代数系统。然后使用 GMRes 算法¹⁹求解。

最后，在固定和进化的表面上呈现出图灵模式图案。我们展示了表面有限元方法的普遍适用性，该方法具有处理生物模型可能导致的各向异性生长的能力。结果证实，结合区域增长增强了模式选择过程。该方法也适用于将表面演化与表面上的反应扩散系统耦合的模型。这在再下一个章节中有说明，它应用于模拟实体瘤的生长。

部分结论性意见在最后一个章节。其他也考虑表面偏微分方程数值解的文章的例子包括^2021222324。这篇文章²⁵ 对计算演化表面的不同方法的回顾。

演化表面上反应扩散方程的推导

曲面梯度

我们假设 $\Gamma$ 可以全局表示为函数 $d$ 的零水平集，即存在开集$\mathcal{U}\subset {\mathbb{R}}^3$和函数$d\in C^2(\mathcal{U})$，使得
$$\mathcal{U}\cap \Gamma =x\in \mathcal{U}:d(x)=0,\text{ and }\nabla d(x)\ne 0,\forall x\in \mathcal{U}\cap \Gamma$$
我们定义单位法向量场为，
$$\mathbf{v}(x)=\frac{\nabla d(x)}{|\nabla d(x)|}$$
我们定义切向梯度为，
$${\nabla }_{\Gamma }\eta (x)=\nabla \eta (x)-\nabla \eta (x)\cdot \mathbf{v}(x)\mathbf{v}(x),x\in \Gamma$$
它只依赖于 $\eta$ 在曲面上的值。它具有三个分量，表示为：
$${\nabla }_{\Gamma }\eta (x)=\left({\underline{D}}_1\eta (x),{\underline{D}}_2\eta (x),{\underline{D}}_3\eta (x)\right)$$
Laplace-Beltrami 算子就定义为切向梯度的切向散度：
$${\Delta }_{\Gamma }\eta (x)={\nabla }_{\Gamma }\cdot {\nabla }_{\Gamma }\eta (x)=\sum _{i=1}^3{\underline{D}}_i{\underline{D}}_i\eta (x)$$

演化表面上的反应扩散系统

让 $\Gamma (t)$ 是嵌入到三维空间 $\Omega (t)$ 的二维曲面。曲面上每一点的速度表示为，
$$\mathbf{v}:=V\mathbf{v}+{\mathbf{v}}_T$$

$\mathbf{u}={u_i}_{i=1}^m$ 是个矢量场，$\mathcal{R}(t)$ 是曲面的某一部分，由物质守恒定律，

$$\frac{d}{dt}{\int }_{\mathcal{R}(t)}{u}_i=-{\int }_{\partial \mathcal{R}(t)}{\mathbf{q}}_i\cdot \mathbf{\mu }+{\int }_{\mathcal{R}(t)}{f}_i(\mathbf{u})$$

这里边的 ${\mathbf{q}}_i$ 表示曲面通量，$f_i(\mathbf{u})$ 表示曲面内的净生产率。

$$\frac{d}{dt}{\int }_{\mathcal{R}(t)}{u}_i=-{\int }_{\partial \mathcal{R}(t)}{\mathbf{q}}_i\cdot \mathbf{\mu }+{\int }_{\mathcal{R}(t)}{f}_{以上是关于肿瘤增长数学模型的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$$

肿瘤TMB的计算原理和数学模型

数学建模-某肿瘤疾病诊疗的经济学分析第一问模型分析

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