机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（24）：常数项级数的审敛法（补充知识）

Posted 2022-01-19 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 常数项级数的审敛法
• • 一、正项级数及其审敛法
  • • 定义：正项级数
    • 定理1
    • 定理2（比较审敛法）
    • 推论
    • 定理3 （比较审敛法的极限形式）
    • 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）
    • 定理5（比值审敛法，柯西判别法）
    • 定理6（极限审敛法）
  • 二、交错级数及其审敛法
  • • 定义：交错级数
    • 定理7（莱布尼茨定理）
  • 三、绝对收敛与条件收敛
  • • 定义
    • 定理8
• 结语

前言

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常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：正项级数

一般的常数项级数，各项可以为正数、负数或零

各项都是正数或零的级数，称为正项级数

定理1

正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛的充分必要条件是：它的部分和数列$s_n$有界

定理2（比较审敛法）

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$都是正项级数，且$u_n\le v_n(n=1,2,...)$

• 若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

• 反之，若${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散

推论

如果级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，且存在正整数$N$，使当$n\ge N$时，有

$$u_n\le k{v}_n(k>0)$$

成立，那么级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

如果级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散，且当$n\ge N$时，有

$$u_n\ge k{v}_n（k>0)$$

成立，那么级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛发散

定理3 （比较审敛法的极限形式）

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$和${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$都是正项级数

（1） 如果${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\infty )$，且级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，那么级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

（2）如果${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l(l>0)$或 lim ⁡ n → ∞ u n v n = + ∞ \\lim_n \\rightarrow\\infty\\fracu_nv_n=+\\infty limn→∞​v机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质

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